Abelsk integral

En abelsk integral är en (komplex) integral av formen

$\int _{z_{0}}^{z}R(x,w)\,dx,$

där $R(x,w)$ är en rationell funktion (dvs. en kvot av två polynom) och $w$ är en algebraisk funktion av $x$. Detta betyder att $x$ och $w$ uppfyller en polynomekvation, säg $F(x,w)=0$. Även om ekvationen som relaterar $x$ och $w$ inte kan lösas explicit, definierar den enligt implicita funktionssatsen $w=w(x)$ som funktion av $x$, i vart fall lokalt. Ett mer symmetriskt (och geometriskt) synsätt är att $x$ och $w$ båda är reguljära funtioner på den algebraiska kurva som definieras av ekvationen $F(x,w)=0$. Härvid är det naturligt att anta att polynomet $F$ är irreducibelt.

Exempel

Om $F(x,w)=x^{2}+w^{2}-1$ kan ekvationen lösas explicit i termer av kvadratrötter:

$w=\pm {\sqrt {1-x^{2}}},$

och man erhåller integraler av formen

$\int _{z_{0}}^{z}R(x,{\sqrt {1-x^{2}}})\,dx,$

exempelvis

$\int _{0}^{z}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin z.$

Redan i detta enkla fall framgår att abelska integraler i allmänhet är flervärda funktioner: sinusfunktionen är inte injektiv och har därför ingen invers i strikt bemärkelse. Integralens värde beror alltså inte bara på integrationsgränserna utan även på integrationsvägen. Ett likartat men mer avancerat exempel är elliptiska integraler:

$\int _{0}^{z}{\frac {1-k^{2}x^{2}}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\,dx,$

vilka först undersöktes i samband med försök att beräkna ellipsens båglängd.

Referenser

• Waldschmidt et al., (ed.) From Number Theory to Physics, Springer 1992, ISBN 978-0387533421
• Griffiths, Philip och Harris, Joseph: Principles of Algebraic Geometry, John Wiley & Sons, New York 1978
• Lang, Serge: Introduction to Algebraic and Abelian Functions, Springer 2011 (andra upplagan), ISBN 0-387-90710-6