Lévys C-kurva

Lévys C-kurva även känd som Lévy-draken är en fraktal som har fått sin namn från den franske matematikern Paul Pierre Lévy. Namnet c-kurva kommer från att dess utseende kan jämföras med ett C. Jämfört med Von Kochs kurva eller Sierpinskis kurvor har Lévys C-kurva mer avancerad struktur, men enklare struktur än exempelvis Juliamängden och Mandelbrotmängden.

IFS konstruktion

Lévy C-kurva skapad med hjälp av IFS

Lévys c-kurva kan beräknas med hjälp av användning av itererande funktionssystem.

$F=\{f_{0},f_{1}\}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$

Funktionerna $f_{0}$ och $f_{1}$ består av förminskning med faktorn $1/{\sqrt {2}}$ och en rotation med $\pi /4$ för $f_{0}$ och $-\pi /2$ för $f_{1}$. C-kurvans Attraktor (K) är den mängd som satisfierar:

$K=f_{0}(K)\cup f_{1}(K)$.

För en kompakt mängd S:

$F(S)=f_{0}(S)\cup f_{1}(S)$.

$K=F(K)\,\!$

K är en fixerad punkt i F och

$K=\lim _{k\to \infty }F^{K}(S)$

Visar att om S är ett linjesegment (med hörn i $f_{0}$ och $f_{1}$) så kommer funktionen F upprepad oändligt antal gånger existera ändligt. $S_{k}=F^{k}(S)$ konvergerar då $k\to \infty$ Om mängden $S_{0}$ är ett linjesegment med hörn i $f_{0}(K)$ och $f_{1}(K)$ så kommer denna linje transformeras om till en rätvinklig triangel som saknar baslinje. Vid nästa steg i iterationen kommer de två linjerna (som kan ses som sidor i en triangel) att bilda två nya trianglar som saknar hypotenusa. Se figur.

L-system konstruktion

Första åtta stegen i Lévy C-kurva

Lévy C-kurva (L-system efter 12 steg)

Vid konstruktion med hjälp av L-systemet bildas C-kurvan genom:

Variabel	F
Vinkel	45°
Regel	F$\to$+F--F+

Där F innebär ett rakt streck, + innebär rotera medurs 45° och - innebär rotera moturs 45°.

Hausdorffdimension

Hausdorffdimensionen hos Lévys C-kurva beräknades först av Duvall och Keesling 1998 till:

D = 1,934007183...

Senare räknade även Strichartz och Wang ut den till samma värde men med hjälp av ett annat tillvägagångssätt.

Insidan av Lévy C-kurvan

Lévy bevisade att C-kurvan har en insida som byggs upp av ett stort antal små element. Alla dessa element är endimensionella och en bestämd längd. Det finns även en begränsad mängd element som C-kurvan består av.

Se även

Lévy C-kurva variant (skapad med hjälp av IFS)

• Fraktalkonst
• Kaosteori
• https://web.archive.org/web/20110719175937/http://www.mathlab.cornell.edu/~twk6/ komplement till "Inside the Levy Dragon"
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=levy+c-curve&f1=1&f=LevyFractal.n_1

Referenser

• http://mathworld.wolfram.com/LevyFractal.html

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Lévys C-kurva.