LF-fördelning

En LF-fördelning (engelska linear fractional distributions) är en fördelning vars sannolikhetsgenererande funktion kan skrivas som kvoten mellan två linjära funktioner. En rationell funktion med linjära funktioner i täljare och nämnare ges av

$g(x)={\frac {a+bx}{c+dx}}$

där $a,b,c$ och $d$ är godtyckliga konstanter. En slumpvariabel $X$ sägs vara LF-fördelad med parametrarna $p_{0},p\in [0,1]$ om dess sannolikhetsgenererande funktion kan skrivas som

$f(s)=E[s^{X}]=p_{0}+(1-p_{0}){\frac {ps}{1-(1-p)s}}.$

Notera att fördelningen kan skrivas på formen av ett linjärt bråk då

$f(s)={\frac {p_{0}+(p-p_{0})s}{1+(p-1)s}}.$

Det behövs dock endast två fria parametrar $p$ och $p_{0}$ eftersom $f$ är en genererande funktion med egenskaperna $f(0)=p_{0}$ och $f(1)=1$. Tolkningen av LF-fördelningen är att det ger det totala antalet barn, där sannolikheten för det första barnet är $1-p_{0}$ och sannolikheten att få barn efter det första barnet är $1-p$ för varje barn.  LF-fördelningar är användbara för att få den genererande funktionen på en enklare form, särskilt efter upprepad applikation av funktionen.

Koppling till geometrisk fördelning

En slumpvariabel $X$, fördelad efter den diskreta fördelningen

$P(X=k)=p_{k}={\begin{cases}p_{0},&{\text{om }}k=0\\p(1-p_{0})(1-p)^{k-1},&{\text{om }}k\geq 1\end{cases}}$

har ekvation $f$ som sannolikhetsgenererande funktion för $|s(1-p)|<1$. Då kan vi se att LF-fördelningen är nära besläktad med den geometriska fördelningen. Om $p_{0}=p$ så får vi att

$f(s)={\frac {p}{1-(1-p)s}},$

vilket är den sannolikhetsgenererande funktionen för den geometriska fördelningen. Så om $X{\overset {D}{\sim }}{\text{Geom}}(p)$ så är $f(s)|_{p_{0}=p}=G_{X}(s)$. Dessutom, om $p_{0}=0$ får vi

$f(s)_{p_{0}=0}={\frac {ps}{1-(1-p)s}}=G_{X+1}(s)$

vilket är den sannolikhetsgenererande funktionen för den skiftade geometriska fördelningen (benämnd för-första-gången-fördelning i artikeln om geometrisk fördelning). Vidare är $P(X>0)=1-p_{0}$ och $X$ givet $X>0$ är fördelad enligt den skiftade geometriska fördelningen .

Användning i Galton-Watson-processen

LF-fördelningen kan användas som reproduktionsfördelning i Galton-Watson-processen. Vi har från egenskaper av sannolikhetsgenererande funktioner att väntevärdet ges av

$\mu =E[Z_{1}]=f'(1)={\frac {(1-p_{0})p}{(1-(1-p)s)^{2}}}{\bigg |}_{s=1}={\frac {1-p_{0}}{p}}$.

De tre fallen $\mu <1$, $\mu =1$ och $\mu >1$ benämns de subkritiska, kritiska respektive superkritiska fallen för processen. I LF-fallet har vi då att $1-p_{0}<p$ i det subkritiska fallet, $1-p_{0}=p$ i det kritiska fallet och $1-p_{0}>p$ i det superkritiska fallet.

Upprepad applicering

Om vi betraktar en kvot av två linjära funktioner är det tydligt att den har samma form även vid upprepad sammansättning $g(g(\dots g(x)\dots )$ eftersom

${\frac {a+b{\frac {a+bx}{c+dx}}}{c+d{\frac {a+bx}{c+dx}}}}={\frac {ac+adx+ab+b^{2}x}{c^{2}+cdx+ad+bdx}}={\frac {ac+ab+(ab+b^{2})x}{c^{2}+ad+(cd+bd)x}}={\frac {a'+b'x}{c'+d'x}}.$

Då LF-fördelningen kan skrivas som en kvot av två linjära funktioner gäller det att sammansättningen också är en LF-fördelning. LF-fördelningen upprepad $n$ gånger kan alltså skrivas som

$f_{n}(s)=f(f(\ldots f(s)\ldots ))=p_{0}^{(n)}+(1-p_{0}^{(n)}){\frac {p^{(n)}s}{1-(1-p^{(n)})s}}.$

Från egenskaper av sannolikhetsgenererande funktioner och koppling till Galton-Watson-processen kan vi få ett uttryck av $f_{n}$ i bara $p_{0},p$. Parametrarna $p^{(n)},p_{0}^{(n)}$ i $f_{n}$ kan uttryckas som

  $\left\{{\begin{aligned}&p^{(n)}={\frac {1-{\frac {p_{0}}{1-p}}}{\left({\frac {1-p_{0}}{p}}\right)^{n}-{\frac {p_{0}}{1-p}}}},\\&p_{0}^{(n)}={\frac {1-\left({\frac {p}{1-p_{0}}}\right)^{n}}{{\frac {1-p}{p_{0}}}-\left({\frac {p}{1-p_{0}}}\right)^{n}}},\end{aligned}}\right.$

där $p$ och $p_{0}$ är parametrarna i LF-fördelningen $f$. I det kritiska fallet, då $p=1-p_{0}$ gäller specifikt

$\left\{{\begin{aligned}p^{(n)}&={\frac {p}{p+(1-p)n}},\\p_{0}^{(n)}&={\frac {(1-p)n}{p+(1-p)n}}.\end{aligned}}\right.$

Dessa uttryck är användbara för analys av Galton-Watson-processen.