Moore–Penroses pseudoinvers
Moore–Penroses pseudoinvers är inom linjär algebra en generalisering av vissa egenskaper hos matrisinversen för icke-kvadratiska matriser, uppkallad efter Eliakim Hastings Moore och Roger Penrose, som beskrev den oberoende av varandra 1920 respektive 1955.
Definition[redigera | redigera wikitext]
Moore–Penroses pseudoinvers till en matris är en matris som uppfyller:
- ( behöver inte vara en enhetsmatris, men ska avbilda alla kolonnvektorer i på sig själva);
- ( is är en svag invers för den multiplikativa semigruppen);
- ( är en hermitesk matris)
- ( är också hermitesk).
är det hermiteska konjugatet till . För reella matriser är detta samma sak som transponatet.
Egenskaper[redigera | redigera wikitext]
Givet en matris med Moore–Penroses pseudoinvers , gäller följande:
- är unik.
- Om är en inverterbar matris, är .
- Pseudoinversen av pseudoinversen är den ursprungliga matrisen, .
- är en ortogonal projektion på s värderum.
- är en ortogonal projektion på s värderum.
- Pseudoinversen till en nollmatris är dess transponat.
Specialfall[redigera | redigera wikitext]
Ortonormala rader och kolonner[redigera | redigera wikitext]
Om har ortonormala kolonnvektorer () eller ortonormala radvektorer ( så är ).
Linjärt oberoende kolonner och rader[redigera | redigera wikitext]
Om kolonnerna i är linjärt oberoende är inverterbar och Moore–Penroses pseudoinvers kan beräknas med:
- .
Det följer då att är vänsterinvers till .
Om raderna i är linjärt oberoende är inverterbar och Moore–Penroses pseudoinvers kan beräknas med:
- .
Det följer då att är högerinvers till .
Beräkning[redigera | redigera wikitext]
Singulärvärdesfaktorisering[redigera | redigera wikitext]
Om matrisen har singulärvärdesfaktoriseringen så fås . Pseudoinversen av , som är en "nästan diagonal" matris med matrisens singulärvärden i diagonalen, genom att ersätta varje element i diagonalen med . Exempel:
Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]
Moore–Penroses pseudoinvers ger en minsta kvadrat-lösning till system av linjära ekvationer. Om systemet ges av ges minsta kvadrat-lösningen av .