Ramanujans taufunktion

Inom matematiken är Ramanujans taufunktion, uppkallad efter Srinivasa Ramanujan, funktionen $\tau :\mathbb {N} \to \mathbb {Z}$ definierad som

$\sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}=\eta (z)^{24}=\Delta (z),$

där $q=\exp(2\pi iz)$ är så att $\Im z>0$ och $\eta$ är Dedekinds etafunktion.

Värden

De första värdena av taufunktionen ges i följande tabell (talföljd A000594 i OEIS):

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
$\tau (n)$	1	−24	252	−1472	4830	−6048	−16744	84480	−113643	−115920	534612	−370944	−577738	401856	1217160	987136

Ramanujans förmodanden

Ramanujan (1916) observerade, men kunde inte bevisa, följande egenskaper av taufunktionen:

• $\tau (mn)=\tau (m)\tau (n)$ om $sgd(m,n)=1$ (det vill säga $\tau (n)$ är en multiplikativ funktion)
• $\tau (p^{r+1})=\tau (p)\tau (p^{r})-p^{11}\tau (p^{r-1})$ för primtal $p$ och $r>0$.
• $|\tau (p)|\leq 2p^{11/2}$ för alla primtal $p$.

De första två egenskaperna bevisades av Louis J. Mordell (1917) och den tredje, kallad för Ramanujan-Peterssons förmodan, bevisades 1974 av Pierre Deligne.

Kongruenser för taufunktionen

För $k\in \mathbb {Z}$ och $n\in \mathbb {Z} _{>0}$, definiera ${\textstyle \sigma _{k}(n)}$ som summan av $k$:te potenserna av delarna av $n$. Taufunktion uppfyller flera kongruensrelationer, många av dem kan uttryckas i termer av ${\textstyle \sigma _{k}(n)}$. Då gäller följande kongruenser:

1. $\tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{11}{\text{ för }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}8$
2. $\tau (n)\equiv 1217\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{13}{\text{ för }}n\equiv 3\ {\bmod {\ }}8$
3. $\tau (n)\equiv 1537\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{12}{\text{ för }}n\equiv 5\ {\bmod {\ }}8$
4. $\tau (n)\equiv 705\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{14}{\text{ för }}n\equiv 7\ {\bmod {\ }}8$
5. $\tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{6}{\text{ för }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}3$
6. $\tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{7}{\text{ för }}n\equiv 2\ {\bmod {\ }}3$
7. $\tau (n)\equiv n^{-30}\sigma _{71}(n)\ {\bmod {\ }}5^{3}{\text{ för }}n\not \equiv 0\ {\bmod {\ }}5$
8. $\tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7{\text{ för }}n\equiv 0,1,2,4\ {\bmod {\ }}7$
9. $\tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7^{2}{\text{ för }}n\equiv 3,5,6\ {\bmod {\ }}7$
10. $\tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}691.$

För $p\neq 23$ primtal gäller:

11. $\tau (p)\equiv 0\ {\bmod {\ }}23{\text{ om }}\left({\frac {p}{23}}\right)=-1$
12. $\tau (p)\equiv \sigma _{11}(p)\ {\bmod {\ }}23^{2}{\text{ om }}p{\text{ är av formen }}a^{2}+23b^{2}$
13. $\tau (p)\equiv -1\ {\bmod {\ }}23{\text{ annars}}.$

Förmodanden om τ(n)

Anta att $f$ är en heltalsnyform av vikt $k$ och att dess Fourierkoefficienter $a(n)$ är heltal. Betrakta följande problem: om $f$ saknar komplex multiplikation, bevisa att $a(p)\neq 0{\bmod {p}}$ gäller för alla $p$. De flesta primtalen borde ha denna egenskap, och sådana primtal kallas ordinära. Även om Deligne och Serre har gjort stora framsteg inom teorin av Galoisrepresentationer, som bestämmer $a(n){\bmod {p}}$ för $n$ och $p$ relativt prima, vet vi inte hur man skall räkna $a(p){\bmod {p}}$. Den enda satsen av denna sort som bevisats är Elkies berömda resultat för modulära elliptiska kurvor som garanterar att det finns oändligt många primtal $p$ så att $a(p)=0$, av vilket $0{\bmod {p}}$ följer. Man känner inte till exempel av icke-KM $f$ med vikt $>2$ med $a(p)\neq 0$ mod $p$ för oändligt många primtal $p$ (även om det borde gälla för nästan alla $p$). Man känner inte heller till exempel där $a(p)=0$ mod $p$ för oändligt många $p$.

Lehmer (1947) förmodade att $\tau (n)\neq 0$ för alla $n$, vilket har senare blivit känt som Lehmers förmodan. Lehmer kontrollerade att den gäller för $n<214928639999$. Bosman (2007) har bevisat att förmodan gäller för alla $n<22798241520242687999$.

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Ramanujan tau function, 17 december 2013.

Noter

Källor

• Apostol, T. M. (1997), ”Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory”, New York: Springer-Verlag 2nd ed. 
• Ashworth, M. H. (1968), Congruence and identical properties of modular forms (D. Phil. Thesis, Oxford) 
• Kolberg, O. (1962), ”Congruences for Ramanujan's function τ(n)”, Arbok Univ. Bergen Mat.-Natur. Ser. (11) 
• Lygeros, N. (2010), ”A New Solution to the Equation τ(p) ≡ 0 (mod p)”, Journal of Integer Sequences 13: Article 10.7.4, http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL13/Lygeros/lygeros5.pdf 
• Mordell, Louis J. (1917), ”On Mr. Ramanujan's empirical expansions of modular functions.”, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 19: 117–124, http://www.archive.org/stream/proceedingsofcam1920191721camb#page/n133 
• Newman, M. (1972), ”A table of τ (p) modulo p, p prime, 3 ≤ p ≤ 16067”, National Bureau of Standards. 
• Rankin, Robert A. (1988), ”Ramanujan's tau-function and its generalizations”, i Andrews, George E., Ramanujan revisited (Urbana-Champaign, Ill., 1987), Boston, MA: Academic Press, s. 245–268, ISBN 978-0-12-058560-1, http://books.google.com/books?id=GJUEAQAAIAAJ 
• Ramanujan, Srinivasa (1916), ”On certain arithmetical functions”, Trans. Cambridge Philos. Soc. 22 (9): 159–184 
• Serre, J-P. (1968), ”Une interprétation relative à la fonction $\tau$ de Ramanujan”, Séminaire Delange-Pisot-Poitou 14 
• Swinnerton-Dyer, H. P. F. (1973), ”On ℓ-adic representations and congruences for coefficients of modular forms”, i Kuyk, Willem; Serre, Jean-Pierre, Modular functions of one variable, III, Lecture Notes in Mathematics, "350", s. 1–55, ISBN 978-3-540-06483-1, https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-540-37802-0_1 
• Wilton, J. R. (1930), ”Congruence properties of Ramanujan's function τ(n)”, Proceedings of the London Mathematical Society 31: 1–10, doi:10.1112/plms/s2-31.1.1