Urnmodell

Urna med svarta och vita kulor

Urnmodeller är ett slag av modeller som används inom statistik och för sannolikhetsberäkningar. I samband med likformiga sannolikhetsfördelningar finns många praktiska problem som kan lösas genom att återföra problemen till dragning av föremål från urnor. Antalet objekt (vanligen färgade kulor) som kan finnas i urnorna är i princip obegränsat och även antalet urnor varierar med problemet.

Exempel

Dragning med återläggning

Urnan innehåller v vita och s svarta kulor och dragning sker med återläggning. Efter varje dragning läggs kulan tillbaka vilket upprepas tills n kulor har dragits.

Vilken är sannolikheten att x vita kulor dras?

Vi antar att elementarhändelserna är alla sätt n kulor kan dras med hänsyn till ordning. Vid varje dragning finns det v + s möjligheter. Vid n dragningar finns då

$m=(v+s)^{n}$

möjligheter.

I hur många fall har x vita kulor dragits?

Efter varje dragning av n kulor finns n möjligheter att placera de x vita kulorna. Antalet sätt att välja x element från en mängd med n element är ${n \choose x}$ (binomialkoefficient).
Varje sådant sätt att välja x element kan uppkomma genom att en av de v vita kulorna placeras på vilken som helst av x platser, vilket ger $v^{x}$ möjligheter. För de återstående n - x platserna finns $s^{n-x}$ möjligheter att placera de svarta kulorna. Sammanlagt finns då $v^{x}s^{n-x}$ möjligheter. Antalet gynnsamma fall är därmed

$g={n \choose x}v^{x}s^{n-x}$

Enligt den klassiska sannolikhetsdefinitionen blir sannolikheten för x vita kulor

${\frac {g}{m}}={n \choose x}\left({\frac {s}{v+s}}\right)^{x}\left({\frac {v}{v+s}}\right)^{n-x}$

Om sannolikheten för att vit respektive svart kula dras skrivs som

$p={\frac {v}{v+s}};\quad q={\frac {s}{v+s}}$

kan sannolikheten för "x vita kulor dras" skrivas

${n \choose x}p^{x}q^{n-x}$

Dragning utan återläggning

I urnan finns v vita och s svarta kulor. Om n kulor dras slumpmässigt utan återläggning, vad är sannolikheten för att x vita kulor dras?

Först bestäms elementarhändelserna som alla möjliga uppsättningar av n dragna kulor oavsett ordning.

Antalet sätt att bland v + s element välja ut n element är

$m={v+s \choose n}$

I hur många fall väljs x vita kulor?

Alla gynnsamma fall fås genom att bland de v vita kulorna välja x kulor och bland de återstående n – x svarta kulorna välja dessa från s kulor, vilket ger totala antalet kombinationer som

$g={v \choose x}{s \choose n-x}$

Enligt den klassiska sannolikhetsdefinitionen är därmed sannolikheten att antalet kulor är x

${\frac {g}{m}}={\frac {{v \choose x}{s \choose n-x}}{v+s \choose n}}$