Betz lag

Schematisk bild av ett flöde genom en skivformad area som motsvaras av vindkraftverkets area.

Betz lag, uppkallad efter den tyska fysikern Albert Betz, ger en övre teoretisk gräns för hur stor del av energiinnehållet som kan utvinnas från den luftmängd som passerar ett vindkraftverk.

Ett vindkraftverk är en anordning med en viss area $A$ som bromsar upp den vind som passerar kraftverket med en viss hastighet $v$

Varje sekund genomströmmas krafverket av en luftmängd med massan $m=\rho Av$ där ρ är luftens densitet

Rörelseenergin hos denna luftmängd är massan gånger hastigheten i kvadrat, och rörelseenergin som passerar kraftverket varje sekund, det vill säga effekten, blir

$P=\rho Av{\frac {v^{2}}{2}}$ vilket kan multipliceras ihop till $P=\rho A{\frac {v^{3}}{2}}$

där ρ är luftens densitet, A svept yta och v vindens hastighet.

Det är emellertid inte teoretiskt möjligt att ta vara på hela denna effekt. Genom att beakta bland annat kontinuitetsekvationen kunde Betz 1919 härleda följande samband för den teoretiskt utvinningsbara effekten:

$P=\rho A{\frac {1}{4}}(v^{2}-v_{2}^{2})(v+v_{2})$

där v₂ är vindens hastighet strax efter att ha passerat kraftverket.

Om man lyckas bromsa upp vinden så att v₂ blir nära noll tar man visserligen vara på en stor del av energin, men samtidigt så kommer massflödet att bromsas upp och en stor del av vinden kommer att tvingas väja och gå vid sidan av kraftverket. Det visar sig att den största effekten fås om man bromsar vinden "lagom mycket" så att vindhastigheten nedströms är en tredjedel av vindhastigheten uppströms, det vill säga v₂ = v/3.

Vid detta maximum blir effekten:

$P=\rho A{\frac {v^{3}}{2}}{\frac {16}{27}}$

Detta förhållande, att den teoretiskt maximala effekt som kan utvinnas i ett vindkraftverk är 16/27 eller cirka 59% av energiinnehållet hos den fritt strömmande luften strax framför rotorn brukar kallas Betz lag.

Sambandet brukar skrivas som

$P=\rho A{\frac {v^{3}}{2}}C_{p}$

där C_p är effektkoefficienten (Power eller performance coefficient) som alltså aldrig kan bli större än 59%.

För verkliga kraftverk brukar man kunna uppnå en största verkningsgrad på cirka 45%.

Vid höga vindhastigheter över kraftverkets märkvind vrides bladen så att verkningsgraden avsiktligt sänkes, för att skydda kraftverket mot överbelastning.

Externa länkar

• The Betz limit - and the maximum efficiency for horizontal axis wind turbines