Cayley-Hamiltons sats

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom linjär algebra säger Cayley-Hamiltons sats (efter matematikerna Arthur Cayley och William Rowan Hamilton) att varje kvadratisk matris bestående av komplexa eller reella tal uppfyller sin egen karakteristiska ekvation.

Dvs: om A är en given n×n matris och In  är identitetsmatrisen med dimensionerna n×n, så definieras A:s karakteristiska ekvation som:

p(\lambda)=\det(\lambda I_n-A)\,

där "det" betecknar determinanten. Cayley-Hamiltons sats säger att om man ersätter \lambda med A i den karakteristiska ekvationen erhålls nollmatrisen:

p(A)=0.\,

Exempel[redigera | redigera wikitext]

För tvådimensionella matriser fås

A^2-\mbox{tr}(A)A+\det(A)I_2=0\,

I tre dimensioner blir uttrycket

A^3-\mbox{tr}(A)A^2+\frac{1}{2}\big(\mbox{tr}(A)^2-\mbox{tr}(A^2)\big)A-\det(A)I_3=0

För att ta ett numeriskt lite tydligare exempel. Ta exempelvis matrisen

A = \begin{bmatrix}1&2\\
3&4\end{bmatrix}.

Karakteristiska ekvationen ges av

p(\lambda)=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\\
-3&\lambda-4\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-4)-2\cdot3=\lambda^2-5\lambda-2.

Cayley-Hamiltons sats säger att

A^2-5A-2I_2=0

Vilket snabbt kan verifieras i det här fallet.

Ett resultat av detta är att Cayley-Hamiltons sats kan användas för att beräkna potenser av matriser på ett enklare sätt än att multiplikation.

Om vi tar resultatet ovan och sen skriver om lite får vi

A^2-5A-2I_2=0
A^2=5A+2I_2.

Om vi sen vill beräkna exempelvis A4

A^3=(5A+2I_2)A=5A^2+2A=5(5A+2I_2)+2A=27A+10I_2
A^4=A^3A=(27A+10I_2)A=27A^2+10A=27(5A+2I_2)+10A
A^4=145A+54I_2.