Sammanfattning

BeskrivningKleinBottle-Figure8-01.png	Figure-eight immersion of a Klein bottle into R3. Made with Mathematica. English: The "figure 8" immersion of the Klein bottle. Italiano: L'immersione a "figura 8" della bottiglia di Klein. Русский: Реализация бутылки Клейна в виде восьмерки
Datum	05/08/06
Källa	Own drawing, Mathematica 5.1
Skapare	Fropuff, Inductiveload
Tillstånd (Återanvändning av denna fil)	The original image was released into the public domain by Fropuff: Public domainPublic domainfalsefalse Detta verk har gjorts tillgänglig som public domain av dess skapare, Fropuff. Detta gäller globalt. I vissa länder kan detta inte vara juridiskt möjligt; i så fall: Fropuff ger envar rätten att använda detta verk för alla ändamål, utan några villkor, förutom villkor som lagen ställer. The derived, redrawn, edited image was released into the public domain by Inductiveload: Public domainPublic domainfalsefalse Detta verk har gjorts tillgänglig som public domain av dess skapare, Inductiveload. Detta gäller globalt. I vissa länder kan detta inte vara juridiskt möjligt; i så fall: Inductiveload ger envar rätten att använda detta verk för alla ändamål, utan några villkor, förutom villkor som lagen ställer.
Andra versioner	For a cut-away version see Image:KleinBottle-Figure8-02.png.

Det finns en vektorversion av denna rasterbild (SVG). När vektorbilden är lämpligare ska den användas istället för rasterbilden. File:KleinBottle-Figure8-01.png → File:KleinBottle-Figure8-01.svg För mer information om vektorgrafik, se artikeln Commons transition to SVG (på engelska). På andra språk Alemannisch ∙ Bahasa Indonesia ∙ Bahasa Melayu ∙ British English ∙ català ∙ čeština ∙ dansk ∙ Deutsch ∙ eesti ∙ English ∙ español ∙ Esperanto ∙ euskara ∙ français ∙ Frysk ∙ galego ∙ hrvatski ∙ Ido ∙ italiano ∙ lietuvių ∙ magyar ∙ Nederlands ∙ norsk bokmål ∙ norsk nynorsk ∙ occitan ∙ Plattdüütsch ∙ polski ∙ português ∙ português do Brasil ∙ română ∙ Scots ∙ sicilianu ∙ slovenčina ∙ slovenščina ∙ suomi ∙ svenska ∙ Tiếng Việt ∙ Türkçe ∙ vèneto ∙ Ελληνικά ∙ беларуская (тарашкевіца) ∙ български ∙ македонски ∙ нохчийн ∙ русский ∙ српски / srpski ∙ татарча/tatarça ∙ українська ∙ ქართული ∙ հայերեն ∙ বাংলা ∙ தமிழ் ∙ മലയാളം ∙ ไทย ∙ 한국어 ∙ 日本語 ∙ 简体中文 ∙ 繁體中文 ∙ עברית ∙ العربية ∙ فارسی ∙ +/−

 

Parameterization

This immersion of the Klein bottle into R³ is given by the following parameterization. Here the parameters u and v run from 0 to 2π and r is some fixed positive constant.

${\displaystyle x=\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\cos u}$

${\displaystyle y=\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\sin u}$

${\displaystyle z=\sin {\frac {u}{2}}\sin v+\cos {\frac {u}{2}}\sin 2v}$

Mathematica source

Klein8[r_:2] =
 Function[{u, v},
   {
       (r + Cos[u/2]Sin[v] - Sin[u/2]Sin[2v]) Cos[u],
       (r + Cos[u/2]Sin[v] - Sin[u/2]Sin[2v]) Sin[u],
       Sin[u/2]Sin[v] + Cos[u/2]Sin[2v]
   }
 ]

 ParametricPlot3D[Evaluate[Klein8[][u, v]], {u, 0, 2Pi}, {v, 0, 2Pi},
   PlotPoints -> 60, Boxed -> False, Axes -> False, ImageSize -> 800]

This image was then antialised with Chris Hill's code, made transparent around the surface and had stray pixels removed in an image editor.