Lagranges ekvationer

Lagranges ekvationer, som är ett centralt begrepp inom den analytiska mekaniken, kan användas för att bestämma rörelsen för ett mekaniskt system. Ekvationerna kan härledas ur Newtons rörelselagar och fick via förarbete av Leonhard Euler sin slutgiltiga formulering 1788 av Joseph Louis Lagrange.

För ett mekaniskt system med $n$ frihetsgrader kan systemets läge beskrivas av $n$ generaliserade koordinater ${q}_{i}$. De generaliserade koordinaternas derivator ${\dot {q}}_{i}$ benämns generaliserade hastigheter. För ett konservativt system, det vill säga ett system där den mekaniska energin bevaras, kan en Lagrangefunktion $L$ definieras som skillnaden mellan den kinetiska och den potentiella energin. Denna kan då uttryckas som en funktion av de generaliserade koordinaterna och hastigheterna. Lagrangefunktionen satisfierar Lagranges ekvationer, som har formen

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0,~i=1,~2,~...,~n$

Lösning av ekvationssystemet med gällande begynnelsevillkor ger de generaliserade koordinaterna som funktioner av tiden, vilket bestämmer systemets rörelse.

Källor

Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2:a uppl, Addison-Wesley.