Siegel–Walfiszs sats

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Siegel–Walfiszs teorem)
Hoppa till: navigering, sök

Inom analytisk talteori är Siegel–Walfiszs sats, uppkallad efter Arnold Walfisz och Carl Ludwig Siegel, ett resultat relaterat till primtal i aritmetiska följder.[1] Definiera

\psi(x;q,a)=\sum_{n\leq x\atop n\equiv a\pmod q}\Lambda(n),

där \Lambda är Mangoldtfunktionen och φ är Eulers fi-funktion.

Då säger satsen att givet vilket som helst reellt tal N finns det en positiv konstant CN som beror enbart på N så att

\psi(x;q,a)=\frac{x}{\varphi(q)}+O\left(x\exp\left(-C_N(\log x)^\frac{1}{2}\right)\right),

då (a, q) = 1 och

q\le(\log x)^N.

Anmärkningar[redigera | redigera wikitext]

Konstanten CN är inte effektivt beräknelig eftersom satsen själv är ineffektiv.

Från satsen kan vi härleda följande form av primtalssatsen för aritmetiska följder: Om vi för (a,q)=1 betecknar antalet primtal mindre eller lika store som x kongruenta a mod q med \pi(x;q,a), då är

\pi(x;q,a)=\frac{{\rm Li}(x)}{\varphi(q)}+O\left(x\exp\left(-\frac{C_N}{2}(\log x)^\frac{1}{2}\right)\right)

där N, a, q, CN och φ är som i satsen om Li betecknar logaritmiska integralen.

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Siegel–Walfisz theorem, 20 december 2013.
  1. ^ Walfisz, Arnold (1936). ”Zur additiven Zahlentheorie. II ”. Mathematische Zeitschrift "40" (1): sid. 592–607. doi:10.1007/BF01218882.  (tyska)