Bernoullipolynom

Bernoullipolynomen är en serie polynom som är relaterade till ett flertal speciella funktioner.

Representationer

Explicit formel

$B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k},$

då n ≥ 0, där B_k är Bernoullitalen. En annan formel som inte innehåller Bernoullitalen är

$B_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x+k)^{m}.$

Genererande funktion

Bernoullipolynomens genererande funktion är

${\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.$

Övrigt

Bernoullipolynomen är de unika polynomen så att

$\int _{x}^{x+1}B_{n}(u)\,du=x^{n}.$

De första Bernoullipolynomen

De första Bernoullipolynomen är

$B_{0}(x)=1\,$

$B_{1}(x)=x-1/2\,$

$B_{2}(x)=x^{2}-x+1/6\,$

$B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x\,$

$B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}}\,$

$B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x\,$

$B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}.\,$

Differenser och derivator

Bernoullipolynomens differenser är

$\Delta B_{n}(x)=B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1}.\,$

Deras derivator är

$B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x).\,$

Formler

$B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x),\quad n\geq 0,$

$(-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1}\,$

$B_{n}(x)=2^{n-1}\left(B_{n}\left({\frac {x}{2}}\right)+B_{n}\left({\frac {x+1}{2}}\right)\right)$

$B_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}(x)y^{n-k}$

$B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{k=0}^{m-1}B_{n}\left(x+{\frac {k}{m}}\right)$

$x^{n}={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose k}B_{k}(x)$

En formel som relaterar Bernoulipolynomen med den fallande fakulteten är

$B_{n+1}(x)=B_{n+1}+\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(x)_{k+1}$

där $B_{n}=B_{n}(0)$ och

$\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=S(n,k)$

är Stirlingtalen av andra ordningen.

En formel av Zhi-Wei Sun och Hao Pan är följande: om r + s + t = n och x + y + z = 1 är

$r[s,t;x,y]_{n}+s[t,r;y,z]_{n}+t[r,s;z,x]_{n}=0,$

där

$[s,t;x,y]_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{s \choose k}{t \choose {n-k}}B_{n-k}(x)B_{k}(y).$

Integraler

Bernoullipolynomens integral ges av

$\int _{a}^{x}B_{n}(t)\,dt={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}}.$

Integralen för produkten av två Bernoullipolynom över intervallet [0,1] ges av

$\int _{0}^{1}B_{n}(t)B_{m}(t)\,dt=(-1)^{n-1}{\frac {m!n!}{(m+n)!}}B_{n+m}\quad {\mbox{ då }}m,n\geq 1.$

Se även

• Bernoullital

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Bernoulli polynomials, 6 november 2013.