Den utskrivbara versionen stöds inte längre och kanske innehåller renderingsfel. Uppdatera din webbläsares bokmärken och använd standardutskriftsfunktionen istället.
Denna artikel utgör en fördjupning av artikeln om mått .
Ett mått har några intressanta egenskaper. Låt
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}
vara ett måttrum.
Grundläggande egenskaper
Monotonicitet : Om
E
1
,
E
2
∈
F
{\displaystyle E_{1},E_{2}\in {\mathcal {F}}}
där
E
1
⊆
E
2
{\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}}
är
μ
(
E
1
)
≤
μ
(
E
2
)
{\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})}
.
Subadditiv : Om
E
1
,
E
2
,
E
3
,
.
.
.
∈
F
{\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},...\in {\mathcal {F}}}
är en följd av mängder (inte nödvändigtvis disjunkta) gäller att
μ
(
⋃
i
=
1
∞
E
i
)
≤
∑
i
=
1
∞
μ
(
E
i
)
{\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})}
.
Konvergenssatser
Ett mått uppfyller följande konvergenssatser :[särskiljning behövs ]
Om
A
1
⊆
A
2
⊆
A
3
⊆
.
.
.
∈
F
{\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq ...\in {\mathcal {F}}}
är
μ
(
⋃
i
=
1
∞
A
i
)
=
lim
i
→
∞
μ
(
A
i
)
{\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\lim _{i\rightarrow \infty }\mu (A_{i})}
.
Om
B
1
⊇
B
2
⊇
B
3
⊇
.
.
.
∈
F
{\displaystyle B_{1}\supseteq B_{2}\supseteq B_{3}\supseteq ...\in {\mathcal {F}}}
där
μ
(
B
1
)
<
∞
{\displaystyle \mu (B_{1})<\infty }
är
μ
(
⋂
i
=
1
∞
B
i
)
=
lim
i
→
∞
μ
(
B
i
)
{\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }B_{i}\right)=\lim _{i\rightarrow \infty }\mu (B_{i})}
.
Gränsvärdena
lim
i
→
∞
μ
(
A
i
)
{\displaystyle \lim _{i\rightarrow \infty }\mu (A_{i})}
och
lim
i
→
∞
μ
(
B
i
)
{\displaystyle \lim _{i\rightarrow \infty }\mu (B_{i})}
finns eftersom måttet är monotont:
μ
(
A
1
)
≤
μ
(
A
2
)
≤
.
.
.
{\displaystyle \mu (A_{1})\leq \mu (A_{2})\leq ...}
μ
(
B
1
)
≥
μ
(
B
2
)
≥
.
.
.
{\displaystyle \mu (B_{1})\geq \mu (B_{2})\geq ...}
om
μ
(
A
i
)
↗
∞
{\displaystyle \mu (A_{i})\nearrow \infty }
definierar vi
lim
i
→
∞
μ
(
A
i
)
:=
∞
{\displaystyle \lim _{i\rightarrow \infty }\mu (A_{i}):=\infty }
.
Källor
P. Halmos, Measure theory , D. van Nostrand and Co., 1950
Den här artikeln ingår i boken: Måtteori