Gränsvärde
- Den här artikeln handlar om det matematiska begreppet. För gränsvärden av farliga ämnen, se Gränsvärde (arbetsmiljö).
Ett gränsvärde (limes) för en funktion beskriver funktionens värde när dess argument kommer tillräckligt nära en viss punkt eller växer sig oändligt (eller tillräckligt) stora. Gränsvärden används i matematisk analys, bland annat för att definiera de viktiga koncepten kontinuitet och derivata.
Gränsvärdet betecknas med notationen:
alternativt f(x) → A då x → a.
Båda utläses som ”gränsvärdet av f(x) då x går mot a är lika med A” eller ”limes av f(x) …”, alternativt ”f(x) går mot A då x går mot a”, och innebär att när x är "nästan" a kommer f(x) att "nästan" vara A. Viktigt att notera är att f(a) inte behöver vara definierad, och om f(a) är det, behöver det inte nödvändigtvis vara lika med A.
Exempel: Låt f(x) = x3 + 2. Vi är intresserade av gränsvärdet då x → 0. Ett sätt att ta reda på detta som egentligen inte är helt matematiskt korrekt men som är en bra illustration är att göra en värdetabell:
| f(-1) | f(-0,1) | f(-0,01) | f(0) | f(0,01) | f(0,1) | f(1) |
| 1 | 1,999 | 1,999999 | 2 | 2,000001 | 2,001 | 3 |
Eftersom funktionen tycks närma sig värdet 2 från både höger och vänster så är detta tydligen gränsvärdet. Att f(0) faktiskt är 2 har inget med saken att göra (men det innebär att funktionen är kontinuerlig i 0). Nedanstående funktion har faktiskt precis samma gränsvärde när x går mot 0:
En sådan numerisk beräkning fungerar i allmänhet om funktionen har en begränsad derivata nära a men inte nödvändigtvis i a.
Gränsvärdet i en punkt kan skilja sig från värdet i punkten och det senare kan vara odefinierat. Man kan få uttryck på en obestämd form om man försöker sätta in funktionsvärden direkt, som till exempel 0/0 (se division med noll), ∞ - ∞ eller 1∞.
Exempel: Funktionen f(x) = sin(x)/x är inte definierad för x = 0 eftersom division med noll inte är definierat. Däremot är gränsvärdet av f(x) då x → 0 lika med 1.
Det är inte alltid ett gränsvärde existerar; till exempel existerar inte gränsvärdet av 1/|x| då x → 0 eftersom värdet går mot oändligheten. Detta skrivs ibland något oegentligt som att gränsvärdet är oändligheten. Inte heller gränsvärdet av sin(x) då x → ∞ existerar eftersom funktionen oscillerar kring noll utan någon tendens att plana ut. Ett annat exempel är H(x) = {0 om x < 0, 1 om x ≥ 0}, som inte har något gränsvärde för x = 0. Gränsvärdena från vänster och höger finns dock, med värdena 0 och 1.
Strikt definition [redigera]
Ett reellt tal A är ett gränsvärde för funktionen f(x) då funktionens argument x närmar sig det reella talet a, om och endast om man kan få det reella talet f(x) att ligga hur nära talet A som helst genom att se till att talet x ligger tillräckligt nära talet a.
Säg att vi vill att f(x) skall befinna sig inom avståndet ε från talet A, det vill säga att absolutbeloppet |f(x) - A| < ε. Då måste vi se till att talet x ligger tillräckligt nära talet a. Hur nära x behöver vara beror på hur litet vi kräver att avståndet ε skall vara, varför vi kan beteckna avståndet för x (kallat δ) som en funktion av avståndet för f(x) (kallat ε): δ(ε).
Formellt skriver man detta på följande sätt.
Vi skall nu hitta ett sådant δ(ε) att funktionsvärdet f(x) skiljer sig från A med mindre än ε så länge x skiljer från a med mindre än δ. Om man klarar att hitta en funktion som uppfyller villkoret för varje ε har man bevisat att gränsvärdet existerar och är A.
Alternativ definition [redigera]
Det finns även en alternativ definition av gränsvärde där man i ovanstående ersätter 0 < |x-a| < δ med |x-a| < δ. Denna definition förekommer i boken "Analys i en variabel" av Arne Persson och Lars-Christer Böiers. Man bör dock vara medveten om att denna alternativa definition inte är allmänt accepterad.
Om funktionen inte är definierad i a finns ingen skillnad mellan de två definitionerna, men om funktionen är definierad i a skärper den alternativa definitionen kraven på A och f så att det även krävs att funktionsvärdet f(a) ska sammanfalla med gränsvärdet A, det vill säga att f ska vara kontinuerlig i a.
Se även [redigera]
