Elliott–Halberstams förmodan

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom talteori är Elliott–Halberstams förmodan en förmodan om primtalens fördelning i aritmetiska följder. Den är uppkallad efter Peter D. T. A. Elliott och Heini Halberstam.

Låt \pi(x) vara antalet primtal mindre eller lika stora som x. Om q är ett positivt heltal och a är relativt primt till q definieras \pi(x;q,a) som antalet primtal mindre eller lika stora som x som är lika med a modulo q. Dirichlets sats om aritmetiska följder säger att

 \pi(x;q,a) \approx  \frac{\pi(x)}{\varphi(q)}

där a och q är relativt prima och \varphi är Eulers fi-funktion. Om vi definierar feltermen

 E(x;q) = \max_{(a,q) = 1} \left|\pi(x;q,a) - \frac{\pi(x)}{\varphi(q)}\right|

där max är över alla a relativt prima till q säger Elliott–Halberstams förmodan att för alla θ < 1 och A > 0 finns det en konstant C > 0 så att

 \sum_{1 \leq q \leq x^\theta} E(x;q) \leq \frac{C x}{\log^A x}

gäller för alla x > 2.

Förmodandet bevisades för alla θ < 1/2 av Enrico Bombieri och A. I. Vinogradov (se Bombieri–Vinogradovs sats, ibland bara "Bombieris sats"). Det är känt att förmodan inte gäller vid θ = 1.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Elliott–Halberstam conjecture, 28 januari 2014.
  • Bombieri, E. (1965). ”On the large sieve”. Mathematika "12": sid. 201–225. 
  • Elliott, P. D. T. A.; Halberstam, H. (1968). ”A conjecture in prime number theory”. Symp. Math. "4": sid. 59–72. 
  • Vinogradov, A. I. (1965). ”The density hypothesis for Dirichlet L-series” (på ryska). Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. "29" (4): sid. 903–934. 
  • Soundararajan, K. (2007). ”Small gaps between prime numbers: The work of Goldston–Pintz–Yıldırım”. Bull. AMS "44" (1): sid. 1–18. doi:10.1090/S0273-0979-06-01142-6.