Fibonaccipolynom

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Fibonaccipolynomen är en polynomföljd som kan ses som en generalisering av Fibonaccital och definieras av

F_n(x)=\left\{\begin{matrix}
1,\qquad\qquad\qquad\qquad&\mbox{om }n=1\\
x,\qquad\qquad\qquad\qquad&\mbox{om }n=2\\
xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&\mbox{om }n\ge3
\end{matrix}\right.

De första fibonaccipolynomen är:

F_1(x)=1 \,
F_2(x)=x \,
F_3(x)=x^2+1 \,
F_4(x)=x^3+2x \,
F_5(x)=x^4+3x^2+1 \,
F_6(x)=x^5+4x^3+3x \,

Värdet av det n:te fibonaccipolynomet för x = 1 är lika med det n:te fibonaccitalet.

Identiteter[redigera | redigera wikitext]

Några identiteter för Fibonaccipolynomen är

F_{m+n}(x)=F_{m+1}(x)F_n(x)+F_m(x)F_{n-1}(x)\,
F_{n+1}(x)F_{n-1}(x)- F_n(x)^2=(-1)^n.\,

Fibonaccipolynomen kan skrivas i sluten form som

F_n(x)=\frac{\alpha(x)^n-\beta(x)^n}{\alpha(x)-\beta(x)}

där

\alpha(x)=\frac{x+\sqrt{x^2+4}}{2},\,\beta(x)=\frac{x-\sqrt{x^2+4}}{2}\,

är lösningarna (i t) av

t^2-xt-1=0.\,

Genererande funktion[redigera | redigera wikitext]

 \sum_{n=0}^\infty F_n(x) t^n = \frac{t}{1-xt-t^2}

Se även[redigera | redigera wikitext]