Ramanujan–Nagells ekvation

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom talteori är Ramanujan–Nagells ekvation en viss diofantisk ekvation uppkallad efter Srinivasa Ramanujan och Wllhelm Ljunggren.

Ekvationen och dess lösning[redigera | redigera wikitext]

Ekvationen är

2^n-7=x^2 \,

och den har lösningar i naturliga tal n och x endast då n = 3, 4, 5, 7 och 15.

Detta förmodades 1913 av den indiska matematikern Srinivasa Ramanujan och oberoende av honom 1943 av den norska matematikern Wilhelm Ljunggren, och bevisades av den norska matematikern Trygve Nagell 1948.

Triangulära Mersennetal[redigera | redigera wikitext]

Problemet at hitta alla tal av formen 2b − 1 (Mersennetal) som är triangeltal är ekvivalent till att lösa Ramanujan-Nagells ekvation:

2^b-1 = \frac{y(y+1)}{2}
\Leftrightarrow 8(2^b-1) = 4y(y+1)
\Leftrightarrow 2^{b+3}-8 = 4y^2+4y
\Leftrightarrow 2^{b+3}-7 = 4y^2+4y+1
\Leftrightarrow 2^{b+3}-7 = (2y+1)^2.

Värdena av b är värdena av n − 3, och de triangulära Mersennetalen är alltså:

\frac{y(y+1)}{2} = \frac{(x-1)(x+1)}{8}

för x = 1, 3, 5, 11 och 181, som ger 0, 1, 3, 15, 4095 och inga andra tal (talföljd A076046 i OEIS).

Ekvationer av Ramanujan–Nagell-typ[redigera | redigera wikitext]

En ekvation av formen

 x^2 + D = A B^n

för fixerade D, A , B och variabler x, n sägs vara av Ramanujan–Nagell-typ. Det följer av ett resultat av Siegel att antalet lösningar av vilken som helst sådan ekvation är ändligt.case is finite.

Ekvationer av Lebesgue–Nagell-typ[redigera | redigera wikitext]

En ekvation av formen

 x^2 + D = A y^n

för fixerade D, A och variabler x, y, n sägs vara av Lebesgue–Nagell-typ. Från resultat av Shorey och Tijdeman följer det att antalet lösningar v en sådan ekvation alltid är ändligt.

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Ramanujan–Nagell equation, 22 december 2013.
  • S. Ramanujan (1913). ”Question 464”. J. Indian Math. Soc. "5": sid. 130. 
  • W. Ljunggren (1943). ”Oppgave nr 2”. Norsk Mat. Tidsskr. "25": sid. 29. 
  • T. Nagell (1948). ”Løsning till oppgave nr 2”. Norsk Mat. Tidsskr. "30": sid. 62–64. 
  • T. Nagell (1961). ”The Diophantine equation x2+7=2n”. Ark. Mat. "30": sid. 185–187. doi:10.1007/BF02592006. 
  • Shorey, T.N.; Tijdeman, R. (1986). Exponential Diophantine equations. Cambridge Tracts in Mathematics. "87". Cambridge University Press. sid. 137–138. ISBN 0-521-26826-5. 
  • Saradha, N.; Srinivasan, Anitha (2008). ”Generalized Lebesgue–Ramanujan–Nagell equations”. i Saradha, N.. Diophantine Equations. Narosa. sid. 207–223. ISBN 978-81-7319-898-4. 

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]