Reynolds-averaged Navier-Stokes

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Reynolds-averaged Navier-Stokes är en kvasitidsmedelvärdesbildning av Navier-Stokes ekvationer där man söker att skilja ut de turbulenta komponenterna av flödet för att kunna representera dem med någon form av turbulensmodell istället för att behöva lösa upp de turbulenta komponenterna i den numeriska lösningen av Navier-Stokes ekvationer.

\overline{\Phi} \equiv \frac{1}{T} \int_T \Phi(t) dt
\Phi' \equiv \Phi - \overline{\Phi}
 \Phi(\mathbf{x},t) = \bar{\Phi}(\mathbf{x,t}) + \Phi^\prime(\mathbf{x},t) \,

Räkneregeler:

 \overline{\overline{f}} = \bar{f}
 \overline{f+g} = \bar{f} + \bar{g}
 \overline{\overline{f}g} = \bar{f}\bar{g}
 \overline{fg} \ne \bar{f}\bar{g}
 \overline{\frac{\partial f}{\partial s}} = \frac{\partial \bar{f}}{\partial s}

Inkompressibel strömning[redigera | redigera wikitext]

Genom följande substitution i Navier-Stoks ekvationer för inkompresibel strömning:

 u_i = \bar{u_i} + u_i^\prime, p = \bar{p} + p^\prime

Där  f_i är en vektor som representerar externa krafter

Så fås följande system

 \frac{\partial \left( \bar{u_i} + u_i^\prime \right)}{\partial x_i} = 0
 \frac{\partial \left( \bar{u_i} + u_i^\prime\right)}{\partial t}
+ \left( \bar{u_j} + u_j^\prime\right) \frac{\partial \left( \bar{u_i} + u_i^\prime\right)}{\partial x_j}
= \left( \bar{f_i} + f_i^\prime\right)
- \frac{1}{\rho} \frac{\partial \left(\bar{p} + p^\prime\right)}{\partial x_i} 
+ \nu \frac{\partial^2 \left( \bar{u_i} + u_i^\prime\right)}{\partial x_j \partial x_j}

Genom att applicera kavsi tidsmedelvärdesbildningen på systemet så fås följande:

 \overline{\frac{\partial \left( \bar{u_i} + u_i^\prime \right)}{\partial x_i}} = 0
 \overline{\frac{\partial \left( \bar{u_i} + u_i^\prime\right)}{\partial t}}
+ \overline{\left( \bar{u_j} + u_j^\prime\right) \frac{\partial \left( \bar{u_i} + u_i^\prime\right)}{\partial x_j}}
= \overline{\left( \bar{f_i} + f_i^\prime\right)}
- \frac{1}{\rho} \overline{\frac{\partial \left(\bar{p} + p^\prime\right)}{\partial x_i}}
+ \nu \overline{\frac{\partial^2 \left( \bar{u_i} + u_i^\prime\right)}{\partial x_j \partial x_j}}

Som förenklas till:

 \frac{\partial \bar{u_i}}{\partial x_i} = 0
 \frac{\partial \bar{u_i}}{\partial t} 
+ \frac{\partial \bar{u_j} \bar{u_i} }{\partial x_j}
= \bar{f_i}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial \bar{p}}{\partial x_i}
+ \nu \frac{\partial^2 \bar{u_i}}{\partial x_j \partial x_j}
- \frac{\partial \overline{u_i^\prime u_j^\prime }}{\partial x_j}

Där den följande termen, Reynolds spänningstensor, måste modelleras med någon form av turbulensmodell:

- \frac{\partial \overline{u_i^\prime u_j^\prime }}{\partial x_j}


Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]