Riemannsfären

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Projektion av ett komplext tal A på en punkt \alpha på Riemannsfären.

Riemannsfären är ett matematiskt hjälpmedel för att utöka komplexa talplanet till att även innefatta en oändlighet.

Sfären kan beskrivas som en "boll" med centrum i origo, radien 1, "sydpolen" riktat nedåt (bildligt föreställt, givet att talplanet är horisontellt), och nordpolen högst upp. Punkterna på Riemannsfären har en bijektiv avbildning mot talplanet genom att dra en rät linje genom "nordpolen" och en punkt i talplanet. Denna linje kommer då att korsa Riemansfären i "nordpolen" och på exakt ett ställe till. Detta andra stället är Riemannsfärens avbildning av punkten i talplanet.

På detta sätt kan samtliga punkter på talplanet att entydigt avbildas på punkter på Riemannsfären, och vice versa, med ett undantag. Punkten "nordpolen" har ingen avbildning på komplexa talplanet; den avbildas istället på en "oändlighetspunkt" (som ligger "oändligt långt bort" åt alla håll). En punkt i talplanet som förflyttar sig bort från origo, oavsett åt vilket håll, kommer att ha en avbildning i sfären som kryper mot "nordpolen". Ju längre bort från origo punkten hamnar, desto närmre nordpolen kommer avbildningen att komma.

Räkneregler med noll och oändligheten[redigera | redigera wikitext]

Låt z vara ett komplext tal skilt från noll och oändligheten och låt \infty representera oändlighetspunkten, "nordpolen". Då gäller följande samband:

multiplikation addition/subtraktion division potens
0 \cdot 0 = 0 \, 0 + 0 = 0 \,
0 \cdot z = 0 \, 0 + z = z \, 0 / z = 0 \, 0^z = 0 \,
0 + \infty = \infty \, 0 / \infty = 0 \, 0^\infty = 0 \,
z \cdot 0 = 0 \, z + 0 = z \, z / 0 = \infty \, z^0 = 1 \,
z \cdot z = z^2 \, z + z = 2z \, z / z = 1 \, z^z = z^z \,
z \cdot \infty = \infty \, z + \infty = \infty \, z / \infty = 0 \, z^\infty = \begin{cases} 0 ~~ \mathrm{om} ~~ |z| < 1 \\ \infty ~~ \mathrm{om} ~~ |z| > 1 \end{cases} \,
\infty + 0 = \infty \, \infty / 0 = \infty \,
\infty \cdot z = \infty \, \infty + z = \infty \, \infty / z = \infty \,
\infty \cdot \infty = \infty \, \infty + \infty = \infty \,

Följande uttryck är dock odefinierade:

0 / 0, ~~ 0^0, ~~ 0 \cdot \infty, ~~ \infty \cdot 0, ~~ \infty^0, ~~\infty^z, ~~\infty / \infty, ~~ \infty^\infty