Vandermondematris

En Vandermondematris är inom linjär algebra en matris vars rader beskriver geometriska följder, uppkallad efter den franske matematikern Alexandre-Théophile Vandermonde.

Om $V$ är en Vandermondematris av format $m\times n$ är alltså elementen $v_{ij}=a_{i}^{j-1}$ för tal $a_{i}$, så att matrisen blir:

$V={\begin{pmatrix}1&a_{1}&a_{1}^{2}&\cdots &a_{1}^{n-1}\\1&a_{2}&a_{2}^{2}&\cdots &a_{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&a_{m}&a_{m}^{2}&\cdots &a_{m}^{n-1}\end{pmatrix}}$

Egenskaper

För kvadratiska ($m=n$) Vandermondematriser är determinanten

$\det V=\prod _{1\leq i<j\leq n}(a_{j}-a_{i})$.

En Vandermondematris där $m\leq n$ har maximal rang om och endast om alla $a_{i}$ är distinkta.

Tillämpningar

Vandermondematriser betraktas vid polynominterpolation, eftersom att lösa systemet $Vu=y$, där $V$ är en Vandermondematris, är ekvivalent med att hitta koefficienterna $u_{k}$ i polynomet

$P(x)=\sum _{k=0}^{n-1}u_{k}x^{k}$

av grad $\leq n-1$ som har värdena $y_{k}$ vid $a_{k}$.