Den utskrivbara versionen stöds inte längre och kanske innehåller renderingsfel. Uppdatera din webbläsares bokmärken och använd standardutskriftsfunktionen istället.
Yule–Walker-ekvationerna är en uppsättning ekvationer som uppstår vid skattning av parametrar för en autoregressiv modell för linjär prediktion .
Givet ekvationen
Y
(
n
)
+
a
1
Y
(
n
−
1
)
+
a
2
Y
(
n
−
2
)
+
…
+
a
N
Y
(
n
−
N
)
=
b
0
X
(
n
)
{\displaystyle Y(n)+a_{1}Y(n-1)+a_{2}Y(n-2)+\ldots +a_{N}Y(n-N)=b_{0}X(n)}
,
där
X
(
n
)
{\displaystyle X(n)}
är vitt brus , önskas parametrarna
a
k
{\displaystyle a_{k}}
beräknas. Genom att multiplicera bägge leden med
Y
(
n
−
k
)
{\displaystyle Y(n-k)}
fås
Y
(
n
)
Y
(
n
−
k
)
+
…
+
a
N
Y
(
n
−
N
)
Y
(
n
−
k
)
=
b
0
X
(
n
)
Y
(
n
−
k
)
{\displaystyle Y(n)Y(n-k)+\ldots +a_{N}Y(n-N)Y(n-k)=b_{0}X(n)Y(n-k)}
Väntevärdet av de bägge leden blir
E
[
Y
(
n
)
Y
(
n
−
k
)
+
…
+
a
N
Y
(
n
−
N
)
Y
(
n
−
k
)
]
=
E
[
b
0
X
(
n
)
Y
(
n
−
k
)
]
{\displaystyle E[Y(n)Y(n-k)+\ldots +a_{N}Y(n-N)Y(n-k)]=E[b_{0}X(n)Y(n-k)]}
r
Y
(
k
)
+
a
1
r
Y
(
k
−
1
)
+
…
+
a
N
r
Y
(
k
−
N
)
=
b
0
E
[
X
(
n
)
Y
(
n
−
k
)
]
{\displaystyle r_{Y}(k)+a_{1}r_{Y}(k-1)+\ldots +a_{N}r_{Y}(k-N)=b_{0}E[X(n)Y(n-k)]}
(
r
Y
(
k
)
{\displaystyle r_{Y}(k)}
är
Y
{\displaystyle Y}
:s autokorrelationsfunktion .) Men eftersom
Y
{\displaystyle Y}
inte beror av framtida värden av
X
{\displaystyle X}
så är
E
[
X
(
n
)
Y
(
n
−
k
)
]
=
0
,
k
>
0
{\displaystyle E[X(n)Y(n-k)]=0,\ k>0}
vilket ger ekvationen
a
1
r
Y
(
k
−
1
)
+
…
+
a
N
r
Y
(
k
−
N
)
=
−
r
Y
(
k
)
{\displaystyle a_{1}r_{Y}(k-1)+\ldots +a_{N}r_{Y}(k-N)=-r_{Y}(k)}
och ekvationssystemet för
k
=
1
,
…
,
N
{\displaystyle k=1,\ldots ,N}
(notera att
r
Y
{\displaystyle r_{Y}}
är symmetrisk, så
r
Y
(
−
k
)
=
r
Y
(
k
)
{\displaystyle r_{Y}(-k)=r_{Y}(k)}
)
(
r
Y
(
0
)
r
Y
(
1
)
⋯
r
Y
(
N
−
1
)
r
Y
(
1
)
r
Y
(
0
)
⋯
r
Y
(
N
−
2
)
⋮
⋮
⋱
⋮
r
Y
(
N
−
1
)
r
Y
(
N
−
2
)
⋯
r
Y
(
0
)
)
(
a
1
a
2
⋮
a
N
)
=
−
(
r
Y
(
1
)
r
Y
(
2
)
⋮
r
Y
(
N
)
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}r_{Y}(0)&r_{Y}(1)&\cdots &r_{Y}(N-1)\\r_{Y}(1)&r_{Y}(0)&\cdots &r_{Y}(N-2)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\r_{Y}(N-1)&r_{Y}(N-2)&\cdots &r_{Y}(0)\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}r_{Y}(1)\\r_{Y}(2)\\\vdots \\r_{Y}(N)\end{pmatrix}}}
Ekvationssystem kan lösas med gausseliminering , eller, eftersom matrisen är en Toeplitz-matris , genom Levinson-rekursion .