Rindlerkoordinater

Inom relativistisk fysik är Rindlerkoordinater en viktig och användbar avbildning som föreställer en del av platt rumtid, även kallad Minkowski vakuum. Rindler-atlasen introducerades av Wolfgang Rindler. Rindlers koordinatsystem eller -ram beskriver en likformigt accelereraande referensram i Minkowski-rummet. I specialla relativitetsteorin, utför en likformigt accelererande partikel en hyperbolisk rörelse. För varje sådan partikel kan en Rindler-ram väljas, i vilken den befinner sig i vila.

Samband med kartesiska koordinater

För att åstadkomma en Rindler-avbildning, kan man starta med kartesiska koordinaterna

$ds^{2}=-dT^{2}+dX^{2}+dY^{2}+dZ^{2},\;\;-\infty <T,X,Y,Z<\infty$

I området $0<X<\infty ,\;-X<T<X$, som ibland kallas för Rindlers kil, definieras den nya avbildningen med hjälp av koordinattransformationen

$t=\operatorname {arctanh} (T/X),\;x={\sqrt {X^{2}-T^{2}}},\;y=Y,\;z=Z$

Den inversa transformationen

$T=x\,\sinh(t),\;X=x\,\cosh(t),\;Y=y,\;Z=z$

I Rindlerkoordinater konverteras Minkowskis linjeelement till

$ds^{2}=-x^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\;0<x<\infty ,-\infty <t,y,z<\infty$

I ekvationen är ljushastigheten satt c = 1. För att hitta avståndet till Rindler-horisonten är den oförenklade ekvationen bättre lämpad, givet accelerationen g:

${\begin{aligned}t&={\frac {c}{g}}\operatorname {arctanh} \left({\frac {cT}{X}}\right)\;{\overset {X\,\gg \,cT}{\approx }}\;{\frac {c^{2}T}{gX}}\\X&\approx {\frac {c^{2}T}{gt}}\;{\overset {T\,\approx \,t}{\approx }}\;{\frac {c^{2}}{g}}\end{aligned}}$

Tillämpningar

Rindlerkoordinater har kommit till användning bland annat för att beskriva Milne-modellen och Unruh-effekten.

Referenser

• Boothby, William M. (1986). An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry. New York: Academic Press. ISBN 0-12-116052-1.  Chapter 4 ger bakgrund till vektorfält på jämna mångfalder.

• Rindler, Wolfgang (2001). Relativity: Special, General and Cosmological. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-850836-0. 

• Barceló, Carlos; Liberati, Stefano; and Visser, Matt. ”Analogue Gravity”. Living Reviews in Relativity. http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2005-12/index.html. Läst 11 december 2003.