Speciella relativitetsteorin

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Den speciella relativitetsteorin är en fysikalisk teori, publicerad 1905 av Albert Einstein och beskriver rummets och tidens egenskaper, när man kan bortse från tyngdkraftens – gravitationens – inverkan. En mycket omtalad ekvation, som utgör en hörnsten i teorin är E = mc², där E är energi, m är massa och c² ljushastigheten i vakuum i kvadrat.

Einsteins speciella relativitetsteori kom att ersätta de föreställningar om rum och tid som finns i Newtons fysik, samtidigt som den inlemmade elektromagnetismen så som den beskrivs av Maxwell enligt dennes elektromagnetiska ekvationer. Anledningen till att den kallas speciell (även kallad "särskild" i skolböcker) är inte att den är mer omfattande eller svårförståelig än den allmänna relativitetsteorin, som Einstein kom att lägga fram tio år senare, utan att den begränsar sig till att "endast" beskriva förhållanden i så kallade inertialsystem, där gravitationen kan lämnas utanför. I den allmänna relativitetsteorin som Einstein förevisade år 1915, utvidgade han teorin, så att den kom att omfatta även gravitationen.

Enligt den speciella relativitetsteorin bildar rummet (med de tre dimensionerna djup, höjd och bredd) och tiden tillsammans ett fyrdimensionellt system, den så kallade rumtiden, där mätningar av tid och avstånd beror av observatörens rörelse. Det finns inga absoluta rörelser eller tidsförlopp, utan dessa är relativa och ett föremåls hastighet kan bara anges i förhållande till andra föremål. Teorin anger också att det finns en högsta hastighet, nämligen ljusets hastighet i vakuum och att denna hastighet är konstant och lika för alla observatörer. De fysikaliska lagarna är desamma för alla observatörer. Föremål som rör sig i förhållande till observatören förkortas i rörelseriktningen (enligt observatörens mätningar i denna riktning, någon lokal kontraktion av objektet förekommer ej) och klockor i rörelse går långsammare än klockor i vila. Teorin anger också att massa är en form av energi.


Sovjetiskt frimärke från 1979 tryckt till minne av Albert Einstein och den allmänna relativitetsteorin.

Bakgrund och motivering till den speciella relativitetsteorin[redigera | redigera wikitext]

Redan innan den speciella relativitetsteorin formulerades, hade bland annat Hendrik Lorentz och George Francis FitzGerald observerat att elektromagnetiska krafter varierar beroende på hur de observeras. Exempelvis beror det magnetiska fältet på observatörens rörelsetillstånd. En observatör i vila i förhållande till det elektromagnetska fältet uppfattar inget magnetiskt fält och endast en observatör i relativ rörelse kan registrera ett magnetiskt fält. FitzGerald, Lorentz och Woldemar Voigt föreslog oberoende av varandra (1892, 1895 respektive 1887) teorier innebärande att objekt som rör sig i förhållande till en stationär observatör genomgår en fysisk förkortning, så kallad längdkontraktion (Lorentzkontraktion eller Lorentz-FitzGerald-kontraktion). Lorentz inkorporerade i sin teori också idén att tiden gick långsammare, så kallad tidsdilatation, för det rörliga objektet och konstruerade formler som beskrev denna, den så kallade Lorentztransformationen utan att känna till Voigts arbeten. Han tänkte sig att universum genomsyrades av en osynlig eter och att rörelse genom detta medium påverkade kropparna. Dessa teorier tycktes lösa den konflikt som uppstått mellan elektromagnetism och klassisk Newtonsk fysik genom att Lorentz formler sammanföll med Newtons rörelselagar vid hastigheter som var små i förhållande till ljusets hastighet. Lorentz eter-teori blev dock kritiserad (även av honom själv) för sin delvis godtyckliga natur.

Även om det var Voigt som först formulerade de grundläggande sambanden, lyckades Einstein härleda Lorentz variant av dessa ur en mer grundläggande teori. Han utgick från att fysikens lagar borde vara lika – invarianta – för alla observatörer, och härledde bland annat Lorentztransformationen som en konsekvens.

Den speciella relativitetsteorin beskriver vanligtvis observatörer och kroppar som befinner sig i vila, eller rör sig med konstant hastighet, i förhållande till varandra. En vanlig missuppfattning är att teorin inte hanterar fall då rörelsen är accelererande. Den speciella relativitetsteorin kan dock på ett korrekt sätt beskriva hur accelererande kroppar beter sig i ett konstant gravitationsfält eller i roterande referenssystem. Exempel på detta är tvillingparadoxen eller när en raket accelererar till höga hastigheter. Den speciella relativitetsteorin kan däremot inte beskriva rörelser i varierande gravitationsfält.

Den speciella relativitetsteorins status[redigera | redigera wikitext]

Speciella relativitetsteorin är numera universellt accepterad av det vetenskapliga samfundet. Den är experimentellt mycket väl bekräftad[1] och inga avvikelser från de resultat teorin förutsäger har observerats. Det har dock funnits och finns än i dag forskare som har föreslagit alternativ. En sådan alternativ teori är den dubbelt speciella relativitetsteorin, där inte bara ljusets hastighet är konstant utan även en viss (mycket liten) längd uppfattas lika av alla observatörer.

Konsekvenser av speciella relativitetsteorin[redigera | redigera wikitext]

Speciella teorins postulat om konstant ljushastighet och avsaknad av absoluta referensramar har flera konsekvenser som intuitivt kan uppfattas som bisarra, exempelvis:

  • Tidsskillnaden mellan två händelser är inte något objektivt, utan beroende av observatörernas rörelse i förhållande till varandra.
  • Två händelser som tycks ske samtidigt (men på olika platser) ur en observatörs synpunkt, kan uppfattas ske vid olika tidpunkter och i godtycklig ordning av andra observatörer.
  • Ett föremåls observerade storlek beror på observatörens relativa hastighet. Samma sak gäller för ett föremåls avstånd till en observatör.
  • Tvillingparadoxen, ett tankeexperiment där en tvilling beger sig ut på en rymdresa med höga hastigheter och den andra tvillingen stannar kvar på jorden. Har den kvarvarande tvillingen åldrats mer än resenären när de återförenas?

Förutom att speciella teorin förändrat vår föreställning om tid och rum tvingar den oss också att omvärdera begreppen massa, rörelsemängd och energi. Liksom den för samman de båda förstnämnda till begreppet rumtid, visar den att rörelsemängd och energi kan ses som olika aspekter på samma sak. Detta ger konsekvenser såsom:

  • En partikels massa ökar när dess hastighet ökar (den kinetiska energin ger ett tillskott till massan), men universums massa minskar i relation till partikelns massa.

Ljushastighetens konstans[redigera | redigera wikitext]

Den speciella relativitetsteorin postulerar att ljusets hastighet i vakuum är lika för alla observatörer i likformig relativ rörelse. Att ingen sådan observatör har "företräde" med avseende på någon annan, utan att fysikens lagar måste vara lika för alla observatörer, leder till fenomen som längdkontraktion och tidsdilatation enligt Lorentztransformationens formler.

Notera att ljusets hastighet i ett medium är lägre än i vakuum. I ett medium kan det även förekomma hastigheter större än ljusets i mediet, vilket ger upphov till så kallat Čerenkov-ljus.

Avsaknad av ett absolut referenssystem[redigera | redigera wikitext]

Den speciella relativitetsteorin avvisar föreställningen om att det existerar ett oberoende referenssystem för mätning av tid och rum. Istället anger den att alla system, där observatörer rör sig med konstant hastighet, inertialsystem, är likvärdiga och att därför fysikens lagar måste ge samma resultat för dem alla. Denna så kallade relativitetsprincip kan ses redan hos Galilei, och är en del av även den Newtonska fysiken. Men i slutet av 1800-talet förespråkades idén att universum är fylld av osynlig substans, den så kallade etern, genom vilken elekromagnetiska vågor fortplantade sig likt ljudvågor genom luften. Etern utgjorde ett absolut referenssystem mot vilket rörelse och hastigheter kunde mätas, och samtidigt som vågrörelser i den kunde växelverka med materia, antogs den inte bjuda något motstånd mot föremål som passerar genom den.

Olika tester som kulminerade med Michelson–Morleys experiment år 1887, visade att antingen stod jorden stilla, eller så måste föreställningen om etern och ett absolut referenssystem överges.

Massa, rörelsemängd och energi[redigera | redigera wikitext]

Lorentzfaktorn

För att konserveringslagen om energins bevarande ska hålla vid höga hastigheter, krävs en förändring av formlerna för rörelseenergi och rörelsemängd som används i den klassiska fysiken. För ett föremål med vilomassan m som rör sig med hastigheten v ges totalenergin E och rörelsemängden p av

\ E = \gamma m c^2

respektive

\ p = \gamma m v

där Lorentzfaktorn γ ges av

 \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}

och c är ljusets hastighet. Termen γ som ofta förekommer inom relativitetsteorin erhålls ur ekvationerna i Lorentz- eller Voigttransformationen.

Av formlerna ovan i detta avsnitt framgår att relationen mellan totalenergin och rörelsemängden ges av formeln

\ E^2 - (p c)^2 = (m c^2)^2.

Om hastigheten v är mycket liten i förhållande till c fås genom Taylorutveckling av γ i de två första formlerna i detta avsnitt att

\ E \approx m c^2 + \frac{1}{2}m v^2

och

\ p \approx m v

vilket överensstämmer med de klassiska formlerna.

Om man tar ett föremål i vila (v=0 och därmed γ=1), så ger ovanstående formel för energi inte energivärdet noll utan den reduceras till den berömda formeln:

\ E = m c^2

Det vill säga att även när ett föremål med vilomassa är i vila så återstår ändå en viss mängd energi. Formeln visar att massa, ur relativistisk synvinkel, är proportionell mot eller ekvivalent med energi. Detta demonstreras tydligt av att stora mängder energi – om än svarande mot obetydlig massa – kan frigöras vid kärnreaktioner.

När v närmar sig c, går nämnaren i formeln för γ mot noll och därmed går energin mot oändligheten. Det vill säga att när ett föremåls hastighet närmar sig ljusets, går den energimängd som behövts för att accelerera det mot oändligheten, vilket gör det omöjligt för föremål med vilomassa att nå ljusets hastighet. Endast partiklar som saknar vilomassa, såsom fotoner, kan nå ljushastigheten. Partiklar som saknar vilomassa kan heller inte röra sig långsammare än med ljusfart, utan de måste i alla referenssystem röra sig med ljusets hastighet. Namnet tachyoner har använts för hypotetiska partiklar som skulle kunna röra sig fortare än ljuset, men hittills har existensen av sådana partiklar inte kunnat påvisas experimentellt.

Det sägs ofta att den speciella relativitetsteorin anger att ett föremåls massa ökar, när hastigheten ökar. Emellertid används då två olika definitioner av begreppet massa. I formlerna ovan står m för föremålets vilomassa, vilken förblir konstant och är lika i alla referenssystem. Ett annat begrepp är föremålets relativistiska massa M som ges av

\ M = \gamma m

där γ är samma som i formlerna för energi och rörelsemängd. Eftersom γ ökar med hastigheten, gör också den relativistiska massan det. Om hastigheten är noll så är γ=1 och den relativistiska massan lika med vilomassan.

Man kan skriva

\ E = M c^2

och alltså

\ (M c^2)^2 - (p c)^2 = (m c^2)^2

och således

\ p = M v.

Relativitetsteorin medför att det även finns en övre gräns med vilken påverkan av gravitationen kan röra sig – ljushastigheten i vakuum. Detta avviker från den klassiska teorin för gravitation så som den formulerades av Isaac Newton.

Samtidighet och kausalitet[redigera | redigera wikitext]

Detta avsnitt är en sammanfattning av Samtidighet
Ljuskon

Den speciella relativitetsteorin säger att händelser som tycks ske samtidigt i vissa referenssystem inte behöver göra det i andra system, utan kan där ske i godtycklig ordning. Detta kan tyckas upphäva de normala lagarna för orsak och verkan, vilket dock inte är fallet.

I bilden till höger är intervallet AB 'tids-lika', d.v.s det är hypotetiskt möjligt för materia att förflytta sig från A till B. Om händelsen A inträffar före B, så gör den det i alla referenssystem.

Intervallet AC i diagrammet är 'rum-lika', det vill säga det är inte möjligt för materia eller ljus (eller information) att förflytta sig från A till C. Eftersom ingenting kan överföras från A till C, så kan det inte finnas någon orsakspåverkan mellan dem. Dessutom kan händelsen A inträffa före C i vissa referenssystem, ske samtidigt i andra, och inträffa efter C i ytterligare andra.

Rumtidens geometri[redigera | redigera wikitext]

Den speciella relativitetsteorin använder ett 'platt' 4-dimensionellt så kallat Minkowski-rum, normalt kallat rumtiden. Denna rymd är tämligen likt ett 3-dimensionellt Euklidiskt rum, vilket gör det relativt åskådligt.

Avståndsdifferentialen, ds, i ett 3-dimensionellt linjärt rum definieras som:

ds^2=dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2

där dx_1, dx_2 och dx_3 är differentialerna i respektive dimension. I speciella relativitetens geometri läggs sedan tiden till som en fjärde dimension, som oftast tas som den nollte dimensionen. Ekvationen för avståndsdifferentialen i rumtiden är i Minkowskirummet

ds^2=c^2dt^2 - dx_1^2 - dx_2^2 - dx_3^2

där man ofta enligt konvention väljer att sätta minustecken framför rumskoordinaterna och plustecken framför tiden. Det omvända förekommer också, framförallt i den allmänna relativitetsteorin.

Ibland hanteras tidskoordinaten med hjälp av imaginära tal, och t byts då ut mot i t', vilket, om konventionen för minustecken ändras, ger formeln:

ds^2=dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2+c^2(dt')^2

Detta är dock numera mindre vanligt, och förekommer mycket sällan i teknisk litteratur.

För att lättare kunna åskådliggöra rumtiden i 3 dimensioner kan man ta bort en av rumsdimensionerna så att man har två rumsdimensioner och en tidsdimension:

ds^2=c^2dt^2 - dx_1^2 - dx_2^2.

Ett föremål som rör sig med konstant hastighet genom rymden kan beskrivas som en rät linje genom rumtiden. Andra typer av rörelser ger andra typer av kurvor. En sådan kurva brukar kallas föremålets världslinje.

Ljusstrålar som anländer till eller utgår från en given punkt vid en given tid kan åskådliggöras med en dubbelkon kring punktens rumtid-koordinat – en så kallad ljuskon som beskrivs av ekvationen

ds^2=0=c^2dt^2 - dx_1^2 - dx_2^2 eller dx_1^2+dx_2^2=c^2dt^2
Ljuskon – (den 3-dimensionella) ytan av alla möjliga ljusstrålar som går till eller ifrån en punkt i rumtiden, här reducerat till 2 dimensioner.

Ofta brukar man anpassa enheterna så att ljuskonen bildar en 45-graders vinkel så som på bilden till höger.

Denna dubbelkon delar in rumtiden i tre områden.

  1. Punkter i området innanför den övre konen representerar framtiden för den ursprungliga händelsen, och punkter innanför den undre konen representerar det förflutna. Kurvor som förbinder observatören (där båda konerna har sin spets) med punkter inom konerna kallas tidslika och representerar världslinjer för föremål som rör sig med hastigheter mindre än ljusets.
  2. Punkter på konerna representerar nuet och utgörs av händelser som kan nås av ljusstrålar från den första händelsen. Världslinjer på denna yta kallas ljuslika och representerar ljusstrålar eller partiklar som hela tiden rör sig med ljusets hastighet. När vi observerar stjärnhimlen är det i princip denna del av rumtiden vi ser.
  3. Punkter utanför konerna representerar händelser som inte är observerbara. Kurvor som förbinder den givna punkten med sådana punkter kallas rumslika och kan representera rums-dimensioner så som längd och bredd, snarare än vara världslinjer för ett föremål.

Tester på speciella relativitetsteorins postulat[redigera | redigera wikitext]

Några grundläggande tester av speciella relativitetsteorin är:[2]

Samlingar av diverse tester på speciella relativitetsteorin finns hos Jakob Laub,[3] Zhang,[4] Mattingly,[5] Clifford Will,[6] och Roberts/Schleif.[7]

Enhetsanalys av E=mc² i SI-systemet[redigera | redigera wikitext]

I ekvationen E=mc² har vänsterledet i SI-systemet enheten Joule (J) och högerledet har enheten kg·(m/s)², där kg, m och s är grundenheter. J definieras som newtonmeter, Nm, och N är in sin tur definierat som kg·m/s². Slår vi ihop detta får alltså att

J = Nm = kg·a·m = kg·m/s²·m = kg·m²/s²

Högerledet faktoriserar sen som kg·(m/s)² = kg·(m/s)·(m/s) = kg·m²/s², så vänster- och högerleden har samma dimensioner.

Detta kan vara ett sätt att försöka förstå hur massa och energi kan anses vara ekvivalenta. Det är dock inte ett bevis för sambandet, det visar bara att mc² har samma enhet som E. Man kan jämföra med den traditionella formeln för rörelseenergi E=mv²/2.

Exempel på tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Satellitnavigering[redigera | redigera wikitext]

De atomur som används i satellitnavigeringssystem som exempelvis GPS påverkas både av effekter från den speciella och den allmänna relativitetsteorin, och tar också hänsyn till dessa.

Kosmisk strålning[redigera | redigera wikitext]

Ett exempel på "klockor" som rör sig med hög hastighet relativt oss är de fenomen i form av sekundärstrålning som inträffar när kosmisk strålning träffar de övre skikten i jordens atmosfär. En del av sekundärstrålningens partiklar är instabila och sönderfaller med en bestämd halveringstid, det vill säga efter en viss tid är antalet kvarvarande partiklar reducerat till hälften. På grund av tidsdilatationen kommer partiklarna att tränga mycket längre ned i atmosfären än vad som motsvarar halveringstiderna mätta med jorden som referenssystem och möjliggör observationer av vissa partiklar vid jordytan vilka skulle vara praktiskt sett mycket svåra att observera om tidsdilatation ej förekom.

Addition av hastigheter[redigera | redigera wikitext]

Vi tänker oss ett referenssystem A med punkterna X och Y. A observerar en observatör B som färdas mellan X och Y i likformig linjär rörelse, med hastigheten v. A observerar också C som färdas mellan Y och X i likformig linjär rörelse, med hastigheten v. A observerar också att B passerar X samtidigt som C passerar Y.

Enligt Newtons mekanik skulle B mäta Cs hastighet till 2v, vilket stämmer bra när v << c. Men det skulle innebära en hastighet större än c om v> c/2. Men enligt relativitetsteorin kommer B att mäta ett lägre värde på den relativa hastigheten. Om B till exempel mäter längden mellan X och Y kommer han enligt längkontraktionen uppfatta det som om avståndet är mindre än det är för A, och hastigheten (avståndet per tidsenhet) proportionsvis lägre.

Noter och referenser[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Experimental basis of SR översikt av Tom Roberts (2007).
  2. ^ Robertson, H. P. (1949). ”Postulate versus Observation in the Special Theory of Relativity”. Reviews of Modern Physics "21" (3): sid. 378–382. doi:10.1103/RevModPhys.21.378. Bibcode1949RvMP...21..378R. 
  3. ^ Laub, Jakob (1910). "Über die experimentellen Grundlagen des Relativitätsprinzips". Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik 7: 405–463.
  4. ^ Zhang, Yuan Zhong (1997). Special Relativity and Its Experimental Foundations. World Scientific. ISBN 978-981-02-2749-4.
  5. ^ Mattingly, David (2005). "Modern Tests of Lorentz Invariance". Living Rev. Relativity 8 (5).
  6. ^ Will, C.M (2006). "Special Relativity: A Centenary Perspective". In T. Damour, O. Darrigol, B. Duplantier und V. Rivasseau. Poincare Seminar 2005. Basel: Birkhauser. pp. 33–58. arXiv:gr-qc/0504085.
  7. ^ Roberts, T; Schleif, S; Dlugosz, JM (ed.) (2007). "What is the experimental basis of Special Relativity?". Usenet Physics FAQ. University of California, Riverside. Kollad 2012-06-30.

Litteratur[redigera | redigera wikitext]

  • Taylor, E F, Wheeler J A Spacetime Physics. Introduction to Special Relativity, 1992

Se även[redigera | redigera wikitext]

Personer:

Fysik och matematik:

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]