Avbildning

Inom matematik är en avbildning, T, från en mängd X till en mängd Y, en hopparning av vissa element från X med vissa element från Y. Denna parning är sådan att ett X-element paras ihop med bara ett Y-element; X-elementet x paras ihop med Y-elementet Tx.

• De X-element som ingår i parningen utgör vad som kallas avbildningens definitionsmängd D(T). I allmänhet är detta en delmängd av mängden X:

$D(T) \subseteq X.$

• De Y-element som ingår i parningen utgör vad som kallas avbildningens värdemängd R(T). I allmänhet är detta en delmängd av mängden Y:

$R(T) \subseteq Y.$

• Om definitionsmängden utgör hela mängden X säger man att avbildningen är injektiv:

$D(T) \,= X$

• Om värdemängden utgör hela Y-mängden säger man att avbildningen är surjektiv:

$R(T) \,= Y.$

• En avbildning som är både injektiv och surjektiv kallar man en bijektiv avbildning.

En operator är en avbildning där mängden X är ett vektorrum och där mängden Y också är ett vektorrum.

En funktional är en avbildning där mängden X är ett vektorrum och mängden Y är en delmängd av de komplexa talen.

Ofta används begreppet funktion synonymt med avbildning, men ibland görs åtskillnad mellan dessa begrepp. I dessa fall menas med en funktion en avbildning där mängden X kan vara vad som helst, men där mängden Y är en delmängd av de komplexa talen.

Mängden av de komplexa talen är ett vektorrum, så en funktional är en särskild slags operator och även en särskild slags funktion.

Exempel

Operator: Låt X vara mängden av alla deriverbara och reellvärda funktioner på det slutna intervallet [0,1] och låt Y vara mängden av alla kontinuerliga reellvärda funktioner på det slutna intervallet [0,1]:

$X = \mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R});$

$Y = \mathcal{C}([0,1],\mathbb{R}).$

Ett exempel på en operator är den avbildning som parar ihop en deriverbar reellvärd funktion x(t) med dess derivata (som är en kontinuerlig funktion):

$Tx = \frac{dx}{dt}, \quad x \in \mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R}).$

Funktional: Låt X vara mängden av alla kontinuerliga reellvärda funktioner på det slutna intervallet [0,1]. Ett exempel på en funktional är den bestämda integralen över intervallet [0,1]:

$Tx = \int_0^1 x(t) \, dt, \qquad x \in \mathcal{C}([0,1],\mathbb{R}).$

Funktion: Låt X vara det slutna intervallet [0,1] och Y också vara samma intervall. Ett exempel på en funktion är:

$T(x) \,= x^2, \qquad x \in [0,1].$

(När det gäller funktioner är det brukligt att skriva T(x) istället för Tx.)

Källor

• G. B. Folland, Real Analysis: Modern techniques and their applications, Second edition (1999), Wiley-Interscience
• E. Kreyszig, Introductory functional analysis with applications, (1978), Wiley