Lombs periodogram: Skillnad mellan sidversioner

Innehåll som raderades Innehåll som lades till

Inline

Versionen från 27 oktober 2021 kl. 17.14

Lombs Periodogram, eller Lomb-Scargle Periodogram, är en metod för att skatta frekvensspektrum för data som inte är samplade med jämnt intervall ^[1]^[2].

Antag att data är $x_{i}$ , tillgängliga vid tidpunkter $t_{i}$ för $i=1,...,N$ .

Spektrumet vid $\omega$ kan då skattas genom att beräkna

$P(\omega )={\frac {\left(\sum _{i=1}^{N}{x_{i}\cos \left(\omega \left(t_{i}-\tau \left(\omega \right)\right)\right)}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{N}{\cos ^{2}(\omega (t_{i}-\tau (\omega )))}}}+{\frac {\left(\sum _{i=1}^{N}{x_{i}\sin(\omega (t_{i}-\tau (\omega )))}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{N}{\sin ^{2}(\omega (t_{i}-\tau (\omega )))}}}$

där $\tau$ definieras med hjälp av

$\tan(2\omega \tau )={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\sin(2\omega t_{i})}}{\sum _{i=1}^{N}{\cos(2\omega t_{i})}}}$ .

Scargle visade att den här skattningen är statistiskt ekvivalent med ett vanligt periodogrammet vid jämt samplad data ^[2].

Lomb visade i sin tur att skattningen är ekvivalent med en minsta-kvadrat skattningen vid varje frekvens ^[1], med andra ord ges samma resultat genom att först beräkna

$\mathbf {s} _{\omega }={\begin{bmatrix}\sin(\omega t_{1})\\\sin(\omega t_{2})\\\vdots \\\sin(\omega t_{N})\end{bmatrix}}$ , $\mathbf {c} _{\omega }={\begin{bmatrix}\cos(\omega t_{1})\\\cos(\omega t_{2})\\\vdots \\\cos(\omega T_{N})\end{bmatrix}}$ , $\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{N}\end{bmatrix}}$

samt

$A_{\omega }={\begin{bmatrix}\mathbf {s} _{\omega }&\mathbf {c} _{\omega }\end{bmatrix}}$

och spektrumet kan sedan skattas genom att beräkna

${\begin{bmatrix}S_{\omega }\\C_{\omega }\end{bmatrix}}=(A_{\omega }^{T}A_{\omega })A_{\omega }^{T}\mathbf {x}$ ,

där

$P(\omega )=S_{\omega }^{2}+C\omega ^{2}$ .

^ [a b] Lomb, N. R. (1976-02). ”Least-squares frequency analysis of unequally spaced data”. Astrophysics and Space Science 39 (2): sid. 447–462. doi:10.1007/bf00648343. ISSN 0004-640X. http://dx.doi.org/10.1007/bf00648343. Läst 27 oktober 2021.
^ [a b] Scargle, J. D. (1982-12). ”Studies in astronomical time series analysis. II - Statistical aspects of spectral analysis of unevenly spaced data”. The Astrophysical Journal 263: sid. 835. doi:10.1086/160554. ISSN 0004-637X. http://dx.doi.org/10.1086/160554. Läst 27 oktober 2021.

[:0-1] [a b] Lomb, N. R. (1976-02). ”Least-squares frequency analysis of unequally spaced data”. Astrophysics and Space Science 39 (2): sid. 447–462. doi:10.1007/bf00648343. ISSN 0004-640X. http://dx.doi.org/10.1007/bf00648343. Läst 27 oktober 2021.

[:1-2] [a b] Scargle, J. D. (1982-12). ”Studies in astronomical time series analysis. II - Statistical aspects of spectral analysis of unevenly spaced data”. The Astrophysical Journal 263: sid. 835. doi:10.1086/160554. ISSN 0004-637X. http://dx.doi.org/10.1086/160554. Läst 27 oktober 2021.

[1]

[2]

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
+'''Lombs Periodogram,''' eller '''Lomb-Scargle Periodogram,'''  är en metod för att skatta [[frekvensspektrum]] för data som inte är samplade med jämnt [[Intervall (matematik)|intervall]] <ref name=":0">{{Tidskriftsref|rubrik=Least-squares frequency analysis of unequally spaced data|url=http://dx.doi.org/10.1007/bf00648343|tidskrift=Astrophysics and Space Science|år=1976-02|hämtdatum=2021-10-27|issn=0004-640X|sid=447–462|volym=39|nummer=2|doi=10.1007/bf00648343|förnamn=N. R.|efternamn=Lomb}}</ref><ref name=":1">{{Tidskriftsref|rubrik=Studies in astronomical time series analysis. II - Statistical aspects of spectral analysis of unevenly spaced data|url=http://dx.doi.org/10.1086/160554|tidskrift=The Astrophysical Journal|år=1982-12|hämtdatum=2021-10-27|issn=0004-637X|sid=835|volym=263|doi=10.1086/160554|förnamn=J. D.|efternamn=Scargle}}</ref>.
-'''Lombs periodogram''' är en metod för att skatta [[frekvensspektrum]] för data som inte är samplade med jämnt [[Intervall (matematik)|intervall]].
-Metoden går till enligt följande.
-Antag att data är <math>x_i</math>, tillgängliga vid tidpunkter <math>t_i</math>.
+Antag att data är <math>x_i</math>, tillgängliga vid tidpunkter <math>t_i</math> för <math>i = 1,...,N</math>.
-Bilda skattningar av [[medelvärde]] och [[varians]]
+Spektrumet vid <math>\omega</math> kan då skattas genom att beräkna
-<math>\hat{x}=\sum_{i=1}^{N}{x_i}</math>
-<math>\sigma^2=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\hat{x})^2}</math>
+<math>P(\omega)=\frac{\left(\sum_{i=1}^{N}{x_i\cos\left(\omega\left(t_i-\tau\left(\omega\right)\right)\right)}\right)^2}{\sum_{i=1}^{N}{\cos^2(\omega(t_i-\tau(\omega)))}}+
+\frac{\left(\sum_{i=1}^{N}{x_i\sin(\omega(t_i-\tau(\omega)))}\right)^2}{\sum_{i=1}^{N}{\sin^2(\omega(t_i-\tau(\omega)))}}</math>
-Skatta spektrum som funktion av frekvens <math>\omega</math> med
+där <math>\tau</math> definieras med hjälp av
-<math>2\sigma^2P(\omega)=\frac{\left(\sum_{i=1}^{N}{x_i\cos\left(\omega\left(t_i-\tau\left(\omega\right)\right)\right)}\right)^2}{\sum_{i=1}^{N}{\cos^2(\omega(t_i-\tau(\omega)))}}+
+<math>\tan(2\omega\tau)=\frac{\sum_{i=1}^{N}{\sin(2\omega t_i)}}{\sum_{i=1}^{N}{\cos(2\omega t_i)}}</math>.
-\frac{\left(\sum_{i=1}^{N}{x_i\sin(\omega(t_i-\tau(\omega)))}\right)^2}{\sum_{i=1}^{N}{\sin^2(\omega(t_i-\tau(\omega)))}}</math>
+Scargle visade att den här skattningen är statistiskt ekvivalent med ett vanligt periodogrammet vid jämt samplad data <ref name=":1" />.
+Lomb visade i sin tur att skattningen är ekvivalent med en minsta-kvadrat skattningen vid varje frekvens <ref name=":0" />, med andra ord ges samma resultat genom att först beräkna
+<math>\mathbf{s}_\omega = \begin{bmatrix} \sin(\omega t_1)\\ \sin(\omega t_2) \\ \vdots \\ \sin(\omega t_N)\end{bmatrix}</math>, <math>\mathbf{c}_\omega = \begin{bmatrix}\cos(\omega t_1)\\\cos(\omega t_2) \\ \vdots \\ \cos(\omega T_N)\end{bmatrix}</math>, <math>\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_N \end{bmatrix}</math>
+samt
+<math>A_\omega = \begin{bmatrix}\mathbf{s}_\omega & \mathbf{c}_\omega \end{bmatrix}</math>
+och spektrumet kan sedan skattas genom att beräkna
+<math>\begin{bmatrix}S_\omega \\ C_\omega \end{bmatrix} = (A_\omega^TA_\omega)A_\omega^T \mathbf{x}</math>,
 där
-<math>\tan(2\omega\tau(\omega))=\frac{\sum_{i=1}^{N}{\sin(2\omega t_i)}}{\sum_{i=1}^{N}{\cos(2\omega t_i)}}</math>
+<math>P(\omega) = S_\omega^2 + C\omega^2</math>.
 [[Kategori:Algoritmer]]