ARCH

ARCH (autoregressive conditional heteroskedasticity) är en ekonometrisk modell för tidsserier, där man antar att varje felterms varians beror av kvadraten av variansen hos feltermen i närmast föregående period. Teorin publicerades av Robert F. Engle 1982. Modellen och flera av dess varianter används för finansiella tidsserier där volatiliteten har en tendens att bilda kluster, vilket återspeglar finansvärldens växlingar mellan perioder av lugna prisrörelser varvade med perioder av mer oroliga marknadstillstånd.

Definition

Antag att $~r_t~$ är avkastningen av en investering och att $~r_t=\sigma_t z_t ~$, där $z_t\sim ~ N(0,1)$ och där $\sigma_t^2$ uppfyller ekvationen

$\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1 r_{t-1}^2+\cdots+\alpha_q r_{t-q}^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_{i} r_{t-i}^2$

och $~\alpha_0>0~$ and $\alpha_i\ge 0,~i>0$.

GARCH

Om felets varians följer ARMA-modellen (autoregressive moving average) är den en generaliserad ARCH-modell, vilket kallas GARCH (generalized autoregressive conditional heteroskedasticity).