Attraktor

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
För begreppet inom fiske, se attraktor (fiske).

Attraktor är ett begrepp inom matematiken som beskriver en mängd tal som ett dynamiskt system tenderar att gå emot. Ofta kan en attraktor existera för ett stort antal ursprungliga värden. Med ett ändligt antal variabler så kan dessa beskrivas med hjälp av en vektor där varje dimension är en variabel.

En animation som beskriver en cirkulär attraktor för ett dynamiskt system

Definition[redigera | redigera wikitext]

Låt variabeln t representera tiden och f(t, \mathbf{a}) beskriva systemets dynamiska utveckling, och där vektorn \mathbf{a} representerar systemets ursprungliga värden. Ursprungsvärdet \mathbf{a} är då detsamma som f(0, \mathbf{a}) och efter tiden t har då systemet utvecklats till f(t, \mathbf{a}). En attraktor är då en undermängd A till systemets fasrum - alltså dess värdemängd - som uppfyller:

  • Om \mathbf{a} är ett element i A så är även f(t, \mathbf{a}) det för alla t > 0.
  • Det existerar någon omgivning till A, kallad attraktionsbassängen till A och skriven B(A), så att de värden den kan anta \mathbf{b} ger \lim_{t \rightarrow {\infty}} f(t, \mathbf{b}) = A
  • Det finns ingen icke-tom delmängd av A som har de första två egenskaperna.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Begreppet kan beskrivas med hjälp av en planet och ett föremål som färdas genom rymden och påverkas av gravitationen. Hastigheten och läget hos föremålet kan ses som variablerna, medan en krashlandning är en attraktor, närmare bestämt avstånd från planetens yta är noll och likaså hastigheten. Systemet kommer att utvecklas mot denna attraktor, men bara för vissa krav på hastighet och läge. Exempelvis bör hastighet och läge vara relativt små så att föremålet inte fortsätter förbi planeten. De möjliga kombinationer av värde och hastighet som krävs för att föremålet når attraktorn är då attraktionsbassängen.

Newtons metod är ett bra exempel på en matematisk beskrivning av attraktor. Nollstället till funktionen är då systemets attraktor.

Exempelvis är pi den attraktor som man genom upprepade (iterationer) beräkningar försöker närma (konvergera) sig[ifrågasatt uppgift]. Inom kaosteorin används begreppet när det gäller Lorenz attraktor.

Attraktionsbassäng[redigera | redigera wikitext]

En attraktionsbassäng är det område (i fasrummet) i ett dynamiskt system som leder till en attraktor. Om man startar i en attraktors attraktionsbassäng, så kommer man så småningom godtyckligt nära attraktorn själv. Per definition har ett system lika många attraktorer som attraktionsbassänger; inom varje attraktionsbassäng kommer systemet att närma sig bassängens tillhörande attraktor.

Användning[redigera | redigera wikitext]

Attraktorer är centrala begrepp när komplexa system ska beskrivas och används därför inom det stora antal fält som använder sig av sådana system, exempelvis ekonomi, fysik, ingenjörsyrken, biologi etc. Attraktorn kan då användas för att förutse hur systemet kommer bete sig på sikt eller var utvecklingen kommer att stanna av.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.