Den utskrivbara versionen stöds inte längre och kanske innehåller renderingsfel. Uppdatera din webbläsares bokmärken och använd standardutskriftsfunktionen istället.
Avståndsmängd är ett begrepp inom matematik. Avståndsmängden för en delmängd till ett metriskt rum är mängden av alla avstånd mellan element i mängden.
Formell definition
Låt (X,d) vara ett metriskt rum och en mängd. Då är avståndsmängden för mängden A mängden
,
dvs samlingen av alla avstånd i A.
Tillämpningar
En viktig tillämpning för avståndsmängden är diametern, diam, av en mängd som är supremum för avståndsmängden. Mer precist, diametern för en mängd är talet
Egenskaper
Eftersom är en metrik gäller för delmängder A och B i X, där B innehåller A:
Geometri
En intressant fråga är att givet att man vet någonting om mängdens geometri kan man veta det även för avståndsmängdens geometri? I finns några samband.
Mått
Steinhaus sats säger att om är Lebesguemätbar och den har ett positivt n-dimensionellt Lebesguemått, så är 1-dimensionella Lebesguemåttet för avståndsmängden positiv, dvs
Dimension
Det också finns några satser för dimension av avståndsmängder. Låt vara en Borelmängd.