Den utskrivbara versionen stöds inte längre och kanske innehåller renderingsfel. Uppdatera din webbläsares bokmärken och använd standardutskriftsfunktionen istället.
Inom linjär algebra sägs en avbildning i två variabler vara bilinjär om den är linjär i varje variabel var för sig.
Definition En avbildning
f
:
V
×
W
→
U
{\displaystyle f:V\times W\rightarrow U}
där U, V, W är vektorrum över en kropp K , sägs vara bilinjär om
f
(
v
+
v
′
,
w
)
=
f
(
v
,
w
)
+
f
(
v
′
,
w
)
{\displaystyle f(v+v',w)=f(v,w)+f(v',w)\,}
f
(
a
v
,
w
)
=
a
f
(
v
,
w
)
{\displaystyle f(av,w)=af(v,w)\,}
f
(
v
,
w
+
w
′
)
=
f
(
v
,
w
)
+
f
(
v
,
w
′
)
{\displaystyle f(v,w+w')=f(v,w)+f(v,w')\,}
f
(
v
,
a
w
)
=
a
f
(
v
,
w
)
{\displaystyle f(v,aw)=af(v,w)\,}
för alla
v
,
v
′
∈
V
,
w
,
w
′
∈
W
{\displaystyle v,v'\in V,w,w'\in W}
och
a
∈
K
{\displaystyle a\in K}
Exempel
M
(
m
,
n
)
×
M
(
n
,
k
)
→
M
(
m
,
k
)
{\displaystyle M(m,n)\times M(n,k)\rightarrow M(m,k)}
R
3
×
R
3
→
R
3
{\displaystyle R^{3}\times R^{3}\rightarrow R^{3}}
Applikationsoperatorn som till ett element
V
×
V
∗
∋
(
v
,
v
∗
)
↦
v
∗
(
v
)
{\displaystyle V\times V^{*}\ni (v,v^{*})\mapsto v^{*}(v)}
Egenskaper De bilinjära avbildningarna utgör ett linjärt delrum till rummet av linjära avbildningar
V
×
W
→
U
{\displaystyle V\times W\rightarrow U}
Tensorprodukter används för att klassificera bilinjära avbildningar; närmare bestämt, det finns en kanonisk avbildning
t
:
U
×
V
→
U
⊗
V
{\displaystyle t:U\times V\rightarrow U\otimes V}
så att för varje bilinjär avbildning
b
:
U
×
V
→
W
{\displaystyle b:U\times V\rightarrow W}
så finns en unik avbildning
e
:
U
⊗
V
→
W
{\displaystyle e:U\otimes V\rightarrow W}
så att
b
=
t
∘
e
{\displaystyle b=t\circ e}
