Bolzanos sats

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Bolzanos sats eller satsen om mellanliggande värden är en matematisk sats, som ofta kan användas då man vill undersöka om en ekvation, f(x) = 0\,, går att lösa.

Det enda kravet på funktionen f\, är att den skall vara kontinuerlig. Eftersom de flesta funktioner, som man kommer i kontakt med i praktiken, är kontinuerliga har Bolzanos sats mycket stor användbarhet.

Bolzanos sats eller satsen om mellanliggande värden[redigera | redigera wikitext]

Låt f : [a,b] \longrightarrow \mathbb{R} vara en kontinuerlig funktion på ett slutet och begränsat intervall [a,b]\,. Antag att funktionsvärdena f(a)\, och f(b)\, är olika. Om c\, är ett tal som ligger mellan talen f(a)\, och f(b)\,, så finns det ett motsvarande tal, x_c\,, som ligger mellan talen a\, och b\, med egenskapen att

c = f(x_c)\,.

Användningar av Bolzanos sats[redigera | redigera wikitext]

Vi är intresserade av att lösa ekvationen f(x) = 0\,, där f\, är en kontinuerlig icke-linjär funktion, exempelvis tredjegradspolynomet

f(x) = x^3 - 15 \, x - 4.

Vi ser att funktionsvärdena f(3)
= - 22\, och f(5) = 46\, är olika och att talet 0 (noll) ligger mellan dem.

Bolzanos sats säger att det finns minst ett tal x_0\,, som ligger mellan talen 3 och 5, som är sådant att f(x_0) = 0\,. Det existerar därför en lösning till ekvationen f(x) = 0\, och denna lösning är ett element i det slutna och begränsade intervallet [3,5].

Man kan lokalisera lösningen genom att halvera intervallet [3,5] och undersöka hur funktionsvärdet, f(4), i intervallets mittpunkt förhåller sig till värdena f(3) och f(5) : Om  f(4) \geq 0, så ligger lösningen till ekvationen någonstans i intervallet [3,4]. Om f(4)\leq 0, så ligger lösningen någonstans i intervallet [4,5]; I detta fall råkar det vara så att f(4) = 0\,, vilket visar att x = 4\, är en lösning till tredjegrads-ekvationen

x^3 - 15 \, x - 4 = 0.
Denna metod att lokalisera lösningar till ekvationer kallas Intervallhalverings-metoden.

Bevis av Bolzanos sats[redigera | redigera wikitext]

Vi antar att funktionsvärdet f(a)\, är mindre än f(b)\, och väljer ut ett godtyckligt tal, c\,, som ligger mellan dessa värden:

\,f(a) < c < f(b)\,.

Associerat med detta tal bildar vi mängden

M_c = \{x \in [a,b] : f(x) < c\}.\,

(Mängden M_c\, är icke-tom, eftersom det innehåller talet a\,: f(a) < c.\,)

Talet b\, är en övre begränsning till mängden M_c\, – Det kan finnas flera övre begränsningar. Vi betecknar med symbolen x_c den minsta av alla möjliga övre begränsningar, det vill säga supremum över mängden M_c:

x_c = \sup M_c.\,

(Supremum existerar eftersom paret ([a,b],<)\, är en väl-ordnad mängd.)

Vi skall visa att talet x_c\, har den önskade egenskapen att f(x_c) = c\,, genom att utesluta de två övriga möjligheterna f(x_c) < c\, och f(x_c)
> c.\,

Om funktionsvärdet f(x_c) < c\, så är f(z) < c\, också, om talet z\, ligger tillräckligt nära talet x_c\,. Anledningen till detta är att funktionen f\, är kontinuerlig i punkten x_c\,.

Kontinuiteten hos funktionen f\, i punkten x_c\, innebär att talet f(z)\, ligger nära talet f(x_c)\, :
f(x_c) - \varepsilon < f(z) < f(x_c) + \varepsilon,\,
om talet z\, ligger tillräckligt nära talet x_c\,,
x_c - \delta(x_c,\varepsilon) < z < x_c +
\delta(x_c,\varepsilon).\,
Vi har tillåtelse att välja det positiva talet \varepsilon\, som vi vill. Om vi väljer det positiva talet \varepsilon = c - f(x_c)\, , så ser vi att 2\,f(x_c) - c < f(z) < c.\,

Det går att välja talet \delta\, så litet att det öppna intervallet (x_c - \delta,\, x_c + \delta)\, helt ligger innanför det slutna intervallet [a, b]\,.

Det finns alltså tal z\, i mängden M_c\, med egenskapen att x_c - \delta < z < x_c + \delta\,. Eftersom z\, ligger i mängden M_c\,, måste z\, vara mindre än varje övre begränsning av M_c\,, speciellt måste z\, vara mindre än den minsta övre begränsningen av M_c\,: Talet \sup M_c = x_c\,. Detta innebär att vi har fått en motsägelse:

Talen z\, besitter de två motstridiga egenskaperna att z \leq x_c\, och z > x_c\,.

Vi måste därför dra slutsatsen att det inte finns sådana tal. Men vi kunde hävda att sådana tal fanns, genom att vi utgick från att funktionsvärdet f(x_c) < c\,. Därför har vi lyckats visa att olikheten f(x_c) < c\, inte gäller.

På liknande sätt som i fallet då f(x_c) < c\,, visar man att olikheten f(x_c) > c\, inte gäller heller. Den enda möjligheten som återstår är att f(x_c) = c,\, vilket var vad vi ville bevisa.

Eftersom talet c \in [f(a), f(b)]\, var godtyckligt valt, har vi härmed bevisat Bolzanos sats.

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • Folke Eriksson, Eric Larsson och Gösta Wahde (1993). Matematisk analys med tillämpningar: Del 2