Commandinos sats

Tetraederns fyra medianer skär varandra i samma punkt.

Figur 2. Denna figur avbildar en regelbunden tetraeder där höjderna och medianerna sammanfaller.

Commandinos sats är en sats inom euklidisk geometri som säger att medianderna i en tetraeder skär varandra i en punkt som delar medianerna i förhållandet 3:1 med den längre delen mot tetraederhörnet.

Den är uppkallad efter den italienske matematikern Federico Commandino (1509-1575) som publicerade förhållandet i sitt verk Liber de centro gravitatis solidorum 1565.

Punkten sammanfaller med en solid tetraeders tyngdpunkt.

Bevis

Betrakta en tetraeder med de fyra hörnen $E_{1}$, $E_{2}$, $E_{3}$ och $E_{4}$. Låt $K_{1}$ vara mittpunkten på tetraederkanten ${\overline {E_{3}E_{4}}}$ och konstruera triangeln i figur 2. ${\overline {E_{1}K_{2}}}$ är då medianen i tetraedersidan $\triangle E_{1}E_{3}E_{4}$ från $E_{1}$ och likaledes är ${\overline {E_{2}K_{1}}}$ medianen i tetraedersidan $\triangle E_{2}E_{3}E_{4}$ från $E_{2}$. Dessa tetraedersidors tyngdpunkter ligger i $F_{2}$ respektive $F_{1}$. Linjerna ${\overline {E_{1}F_{1}}}$ och ${\overline {E_{2}F_{2}}}$ är tetraederns medianer från hörnen $E_{1}$ respektive $E_{2}$. De skär varandra i punkten $M$. $F_{1}$ delar ${\overline {E_{2}K_{1}}}$ i förhållandet 2:1 och $F_{2}$ delar ${\overline {E_{1}K_{2}}}$ på samma sätt. Vi kan sålunda konstatera ur vår figur att:

$|\triangle E_{2}F_{1}M|=2\cdot |\triangle K_{1}F_{1}M|$  (1)

$|\triangle E_{1}F_{2}M|=2\cdot |\triangle K_{1}F_{2}M|$  (2)

$|\triangle E_{1}E_{2}F_{1}|=2\cdot |\triangle E_{1}K_{1}F_{1}|$  (3) och

$|\triangle E_{2}E_{1}F_{2}|=2\cdot |\triangle E_{2}K_{1}F_{2}|$  (4)

Ur figuren och sedan med hjälp av (2) finner vi:

$|\triangle E_{2}E_{1}F_{2}|=|\triangle E_{1}F_{2}M|+|\triangle E_{1}E_{2}M|=2\cdot |\triangle K_{1}F_{2}M|+|\triangle E_{1}E_{2}M|$  (5)

Vidare, ur figuren och sedan med hjälp av (1):

$|\triangle E_{2}K_{1}F_{2}|=|\triangle E_{2}F_{1}M|+|\triangle K_{1}F_{1}M|+|\triangle K_{1}F_{2}M|=3\cdot |\triangle K_{1}F_{1}M|+|\triangle K_{1}F_{2}M|$  (6)

Med hjälp av (4) kan vi nu slå samman (5) och (6) till:

$2\cdot |\triangle K_{1}F_{2}M|+|\triangle E_{1}E_{2}M|=2\cdot (3\cdot |\triangle K_{1}F_{1}M|+|\triangle K_{1}F_{2}M|)=$$=6\cdot |\triangle K_{1}F_{1}M|+2\cdot |\triangle K_{1}F_{2}M|\Leftrightarrow$

$|\triangle E_{1}E_{2}M|=6\cdot |\triangle K_{1}F_{1}M|$  (7)

På samma sätt som för (5) får vi ur figuren och sedan med hjälp av (2) att:

$|\triangle E_{1}E_{2}F_{1}|=|\triangle E_{2}F_{1}M|+|\triangle E_{1}E_{2}M|=2\cdot |\triangle K_{1}F_{1}M|+|\triangle E_{1}E_{2}M|$  (8)

Vidare, analogt med (6), ur figuren och sedan med hjälp av (1):

$|\triangle E_{1}K_{1}F_{1}|=|\triangle E_{1}F_{2}M|+|\triangle K_{1}F_{2}M|+|\triangle K_{1}F_{1}M|=3\cdot |\triangle K_{1}F_{2}M|+|\triangle K_{1}F_{1}M|$  (9)

Och analogt med (7) finner vi med hjälp av (3) att:

$2\cdot |\triangle K_{1}F_{1}M|+|\triangle E_{1}E_{2}M|=2\cdot (3\cdot |\triangle K_{1}F_{2}M|+|\triangle K_{1}F_{1}M|)=$

$=6\cdot |\triangle K_{1}F_{2}M|+2\cdot |\triangle K_{1}F_{1}M|\Leftrightarrow$

$|\triangle E_{1}E_{2}M|=6\cdot |\triangle K_{1}F_{2}M|$  (10)

(7) och (10) ger oss nu:

$6\cdot |\triangle K_{1}F_{1}M|=|\triangle E_{1}E_{2}M|=6\cdot |\triangle K_{1}F_{2}M|\Leftrightarrow$

$|\triangle K_{1}F_{1}M|=|\triangle K_{1}F_{2}M|$  (11)

Och, ur figuren, sedan med (2) och till slut med (11):

$|\triangle E_{1}K_{1}M|=|\triangle E_{1}F_{2}M|+|\triangle K_{1}F_{2}M|=3\cdot |\triangle K_{1}F_{2}M|=3\cdot |\triangle K_{1}F_{1}M|$

Men $\triangle E_{1}K_{1}M$ och $\triangle K_{1}F_{1}M$ har samma höjd i $K_{1}$ så basen ${\overline {E_{1}M}}$ måste sålunda vara tre gånger så lång som ${\overline {F_{1}M}}$ och $M$ delar alltså ${\overline {E_{1}F_{1}}}$ i förhållandet 3:1. Och på samma sätt kan vi visa att $M$ även delar ${\overline {E_{2}F_{2}}}$ i förhållandet 3:1. Genom att sedan exempelvis byta ut $E_{2}$ mot $E_{3}$ och sedan mot $E_{4}$ (och såklart byts då även $K_{1}$ och $F_{2}$ ut) visar man att alla medianerna skär varandra i samma punkt och att alla medianerna delas i förhållandet 3:1 av denna punkt.

Quod erat demonstrandum!