Finita differensmetoden

Finita differensmetoden (FDM) är en numerisk metod för att finna lösningar till differentialekvationer genom att ersätta derivatorna med finita differenser.

Härledning

Säg att man vill beräkna funktionen f i punkten x. Om f:s derivator uppfyller vissa villkor kan man Taylorutveckla f(x + Δx):

f(x+\Delta x)=f(x)+\Delta x{\frac {f'(x)}{1!}}+(\Delta x)^{2}{\frac {f''(x)}{2!}}+\dots

.

Om man löser ut f'(x₀) får man:

f'(x)={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}-\Delta x{\frac {f''(x)}{2!}}+\dots \approx {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

.

På liknande sätt, genom att Taylorutveckla f(x - Δx), kan man få approximationen

f'(x)\approx {\frac {f(x)-f(x-\Delta x)}{\Delta x}}

och genom att sätta ihop de två formlerna får man

f'(x)\approx {\frac {f(x+\Delta x)-f(x-\Delta x)}{2\Delta x}}

.

Man kan även härleda approximationer för högre derivator, exempelvis andraderivatan:

f''(x)\approx {\frac {f(x+\Delta x)-2f(x)+f(x-\Delta x)}{(\Delta x)^{2}}}

Som exempel, betrakta Poissonekvationen $-\Delta u=f$ på en kvadratisk domän $\Omega$

Om Laplaceoperatorn $\Delta$ utvecklas fås

-\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)=f

En approximativ lösning fås genom att approximera de partiella andraderivatorna med

-\left({\frac {u_{j+1,k}-2u_{j,k}+u_{j-1,k}}{(\Delta x)^{2}}}+{\frac {u_{j,k+1}-2u_{j,k}+u_{j,k-1}}{(\Delta y)^{2}}}\right)=f

där j och k löper över en finit uppdelning av domänen $\Omega$ .

Antag att stegen i x- och y-led är lika, d.v.s $\Delta x=\Delta y=h$ . Då kan den approximativa versionen av ekvationen ovan skrivas om till

u_{j,k}=\left(h^{2}f+u_{j+1,k}+u_{j-1,k}+u_{k,j+1}+u_{k,j-1}\right)/4

Denna formel är sedan grunden för iterativa lösningsmetoder, exempelvis Jacobi-metoden.

Heath, Michael T. (2005). Scientific Computing - An Introductory Survey. McGraw-Hill. ISBN 007-124489-1