Hyperbolisk triangel

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Hyperboliska trianglar på ett hyperboliskt plan

En hyperbolisk triangel är en triangel på ytan av ett hyperboliskt plan.

En hyperbolisk triangels area är

\arccos\frac{\alpha+\beta+\gamma+\alpha\,\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma+\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\,\beta\,\gamma}{(1+\alpha)(1+\beta)(1+\gamma)}

där

\alpha = \cosh a,\quad \beta=\cosh b,\quad \gamma=\cosh c

och a, b och c är längderna av triangelns sidor.

Om

\Delta = \sqrt{1-\alpha^2-\beta^2-\gamma^2+2\alpha\,\beta\,\gamma}

är större än noll, så gäller för vinkeln A som är motstående vinkel till sidan med längden a:

\sin\frac{A}{2} = \frac{\Delta}{4\cosh\cfrac{a}{2}\,\cosh\cfrac{b}{2}\,\cosh\cfrac{c}{2}}
\tan\frac{A}{2} = \frac{\Delta}{1+\alpha+\beta+\gamma}