Triangel

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
För musikinstrumentet, se Triangel (musikinstrument).
En triangel är en tresidig polygon

Triangeln är en polygon och en av de grundläggande geometriska formerna. En triangel begränsas av tre linjer vars skärningpunkter bildar triangelns hörn.

Triangelns hörn betecknas vanligen med A, B, C och motsvarande vinklar med \alpha, \beta, \gamma. Triangeln kan refereras till som triangeln ABC.

Sidan a säges vara motstående sida till hörnet A och vinkeln \alpha. Hörnet A sägs vara motstående hörn till sidan a.

Semiperimetern är triangelns halva omkrets eller

\ s = \frac{1}{2}\left(a+b+c\right)

Slag av trianglar[redigera | redigera wikitext]

Triangel-slag.svg

En triangel är

Triangel-liksidig-likbent.svg
  • Likbent om två sidor är lika långa
  • Liksidig om alla sidor är lika långa

Vinklar[redigera | redigera wikitext]

Triangel-vinklar-2.svg

Supplementvinkeln till en vinkel i en triangel kallas yttre vinkel.

Vinkelsumma[redigera | redigera wikitext]

Triangel-vinkelsumma.svg

En linje som dras genom ett av triangelns hörn och är parallell med motstående sida, visar att triangelns vinkelsumma är 180 grader.

Höjder[redigera | redigera wikitext]

En triangels höjder är normaler dragna från en sida, eller en sidas förlängning, till motstående hörn. Höjderna skär varandra i en punkt.

Triangel-höjder.svg

Höjden mot sidan a har längden

h_a = \frac{2}{a}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

där s är semiperimetern.(triangelns halva omkrets). Övriga längder beräknas på motsvarande sätt.

Bisektriser[redigera | redigera wikitext]

Triangel-bisektris-2x.svg

En bisektris delar en av triangelns vinklar i två lika delar.

Bisektrisen till en yttre vinkel kallas yttre bisektris.

Bisektriserna skär varandra i en punkt som också är den inskrivna cirkelns centrum.

Triangel-bisektris-2.svg

Bisektrisens längd[redigera | redigera wikitext]

Längden av bisektrisen från hörnet A är

 v_a = \frac{2 b c \cos \frac{\alpha}{2}}{b + c}

Bisektrissatsen[redigera | redigera wikitext]

En bisektris delar motstående sida i samma proportioner som längderna av de sidor som bildar den delade vinkeln:

\frac{b}{c} = \frac{x}{y}

Medianer[redigera | redigera wikitext]

Triangel-medianer-2.svg

Medianen är en linje från ett av triangelns hörn till motstående sidas mittpunkt. Medianerna skär varandra i en punkt.

Medianernas längder är

m_a = \sqrt {\frac{2 b^2 + 2 c^2 - a^2}{4} }
m_b = \sqrt {\frac{2 a^2 + 2 c^2 - b^2}{4} }
m_c = \sqrt {\frac{2 a^2 + 2 b^2 - c^2}{4} }

Area[redigera | redigera wikitext]

Triangelns area är en höjd multiplicerad med motsvarande sida dividerat med 2 eller

A = \frac {a h_a}{2} =  \frac {b h_b}{2} = \frac {c h_c}{2}

Arean kan också beräknas med herons formel som

 A =  \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

där s är semiperimetern (triangelns halva omkrets).

Arean kan även beräknas med den trigonometriska sinusfunktionen enligt

 A = \frac{a b \sin \gamma}{2} = \frac{a c \sin \beta}{2} = \frac{b c \sin \alpha}{2}

Med integral[redigera | redigera wikitext]

Triangel-area-calc.svg

Arean av en triangel kan beräknas med integralen

A = \int_0^h x\frac{a}{h}dx = \left[\frac{a}{2 h} x^2\right] _0^h  = \frac{1}{2 h} a h^2 = \frac{1}{2}a h

Med vektorer[redigera | redigera wikitext]

Triangelns area är hälften av arean av en parallellogram med samma bas och höjd

Arean av en parallellogram i ett tredimensionellt euklidiskt rum kan beräknas med hjälp av vektorer. Låt vektorerna AB och AC svara mot sträckan från A till B respektive A till C. Arean av parallellogrammen ABCD är

|{AB}\times{AC}|,

vilket är magnituden av kryssprodukten av vektorerna AB och AC. Arean av triangeln ABC är hälften av denna

\frac{1}{2}|{AB}\times{AC}|

Triangelns area kan med hjälp av skalärprodukt skrivas som


\frac{1}{2} \sqrt{(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AB})(\mathbf{AC} \cdot \mathbf{AC}) -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2} =\frac{1}{2} \sqrt{ |\mathbf{AB}|^2 |\mathbf{AC}|^2 -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2}\,

I en tvådimensionell euklidisk rymd kan vektorn AB skrivas som (x1,y1) och AC som (x2,y2), vilket ger arean som


\frac{1}{2}\,|x_1 y_2 - x_2 y_1|\,

Samband mellan sidor och vinklar[redigera | redigera wikitext]

Triangel-beteckningar.svg

Cosinussatsen[redigera | redigera wikitext]

a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos \alpha
b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos \beta
c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos \gamma

Om till exempel vinkeln \gamma är rät och då \cos(\pi/2) = 0 erhålls Pytagoras sats

c^2\ = a^2 + b^2

Sinussatsen[redigera | redigera wikitext]

\frac{\sin \alpha}{a}=\frac{\sin \beta}{b}=\frac{\sin \gamma}{c}

Tangenssatsen[redigera | redigera wikitext]

\frac{a - b}{a + b} = \frac{\tan (\frac{1}{2}(\alpha - \beta))}{\tan (\frac{1}{2}(\alpha + \beta))}

Cirklar[redigera | redigera wikitext]

Omskrivna cirkeln[redigera | redigera wikitext]

Triangel-cirklar-2.svg

Den omskrivna cirkelns centrum ligger i skärningspunkten av sidornas mittpunktsnormaler och

dess radie är

R = \frac{abc}{4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}

Inskrivna cirkeln[redigera | redigera wikitext]

Triangel-inskrivna-cirkeln.svg

Den inskrivna cirkelns mittpunkt är bisektrisernas skärningspunkt och dess radie är

r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}

där s är semiperimetern.

Vidskrivna cirkeln[redigera | redigera wikitext]

Triangel-vidskrivna-cirkeln.svg

Bisektrisen från A och bisektrisen från B's yttre vinkel skär varandra i den vidskrivna cirkelns mittpunkt. Den vidskrivna cirkelns radie om cirkeln tangerar sidan a är

\ r_a = \frac{T}{s - a}

där T är triangelns area och s semiperimetern.

Kongruensfall[redigera | redigera wikitext]

Två trianglar är kongruenta om de kan fås att sammanfalla genom rotation, translation och spegling.


Första kongruensfallet (SVS, sida-vinkel-sida)

Om för ABC och A'B'C' gäller att AB = A'B', AC = A'C' och A = A', så är ABC kongruent med A'B'C'.


Andra kongruensfallet (SSS, sida-sida-sida)

Om för ABC och A'B'C' gäller att AB = A'B', AC = A'C' och BC = B'C', så är ABC kongruent med A'B'C'.


Tredje kongruensfallet (VSV, vinkel-sida-vinkel)

Om för ABC och A'B'C' gäller att AB = A'B', A = A' och B =B', så är ABC kongruent med A'B'C'.

Likformighet[redigera | redigera wikitext]

Trianglar-likformiga.svg

Om det för två trianglar med sidorna

\ a_1, b_1, c_1 respektive \ a_2, b_2, c_2, existerar ett tal \lambda\,, en skalfaktor, sådant att

\ a_1 = \lambda a_2, b_1 = \lambda b_2, c_1 = \lambda c_2

sägs trianglarna vara likformiga.

Likformighet betecknas

\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'


Första likformighetsfallet (SVS, Sida-Vinkel-Sida)

Om för två trianglar ABC och A'B'C'

\frac{|AB|}{|A'B'|} = \frac{|AC|}{|A'C'|}

och

\angle A \cong \angle B

är trianglarna likformiga.


Andra likformighetsfallet (SSS, Sida-Sida-Sida)

Om för två trianglar ABC och A'B'C'

\frac{|AB|}{|A'B'|} = \frac{|AC|}{|A'C'|} = \frac{|BC|}{|B'C'|}

är trianglarna likformiga.


Tredje likformighetsfallet (VVV, Vinkel-Vinkel-Vinkel)

Om för två trianglar ABC och A'B'C'

\angle A \cong \angle A',\quad \angle B \cong \angle B',\quad \angle C \cong \angle C'

är trianglarna likformiga.

Triangelns tyngdpunkt[redigera | redigera wikitext]

Triangel, tyngdpunkt.svg

En triangelformad ytas masscentrum (tyngdpunkt) ligger på en tredjedel av höjden räknat från basen.

Medianernas skärningspunkt sammanfaller med masscentrum.

Triangel-centroid-calc.svg

Tyngdpunktens avstånd till en sida kan beräknas med en integral. Vi kan anta att ytdensiteten (massa per areaenhet) är = 1. Arean x\frac{a}{h}dx utövar då momentet x\cdot x\frac{a}{h}dx med avseende på origo, vilket för hela triangeln ger

\int_0^h x\cdot x\frac{a}{h}dx = \left[\frac{a}{3 h} x^3\right] _0^h  = \frac{1}{3}a h^2 = \frac{2}{3}A h

där A är triangelns area. Det moment triangeln utövar kan anses angripa i tyngdpunkten vilket ger

 T_p A = \frac{2}{3}A h\ \rightarrow\ T_p = \frac{2}{3}h \rightarrow d = \frac{h}{3}

Med lodlina[redigera | redigera wikitext]

Triangle-centroid-find.svg

Det går att finna ett tunt och plant föremåls tyngdpunkt med hjälp av en lodlina. Lodlina och (i detta fall) triangel hängs fritt från en fästpunkt och lodlinjen markeras. Detta upprepas för en andra fästpunkt. Lodlinjernas skärningspunkt är tyngdpunktens läge.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]