Itōprocess

En Itōprocess är en stokastisk process, $\{X_t\}_{t\in[0,T]}$, vars element kan framställas som en summa av en 'vanlig integral' och en stokastisk integral:

$X_t = x + \int_0^t a_s \, ds + \underbrace{\int_0^t b_s \, dW_s}_{\rm{stokastisk \, integral}}, \qquad t \in [0,T].$

En sådan framställning kallas för en stokastisk differentialekvation, och den brukar skrivas mer kortfattat på följande sätt:

$dX_t = a_t \, dt + b_t \, dW_t, \qquad X_0 = x.$

De stokastiska processerna $\{a_t\}_{t\in[0,T]}$ och $\{b_t\}_{t\in[0,T]}$ skall vara sådana att integralerna ovan existerar, vilket de gör om

$\mathbb{P}\left\{\sup_{t\in[0,T]} \int_0^t \vert a_s \vert \, ds < \infty \right\} = 1 \quad och \quad \mathbb{P}\left\{\sup_{t\in[0,T]} \int_0^t \vert b_s \vert^2 \, ds < \infty \right\} = 1.$

Vidare skall processernas värden vid varje tidpunkt endast bero på de tidigare värden som Wienerprocessen W antagit; värdena $a_s$ och $b_s$ skall vara funktioner av värdena $W_u$, där tiderna u ligger före tidpunkten s:

$a_s = f_s(W_u : u \in [0,s]) \quad och \quad b_s = g_s(W_v : v \in [0,s]), \quad s \in [0,T].$

Man säger att processerna a och b är anpassade till den filtration som Wienerprocessen genererar:

$a_s, b_s \in \sigma(W_s : s \in [0,t]), \qquad s \in [0,T].$

Processen är uppkallad efter den japanske matematikern Kiyoshi Itō.

Se även

• Stokastisk integral
• Itos formel (eller Itos lemma), ett mycket viktigt resultat nära knutet till begreppet Itōprocess

Referenser

• B. Øksendal, Stochastic differential equations: An introduction with applications, Fifth edition, (2000), Springer Verlag;
• T. Björk, Arbitrage theory in continuous time, (1998), Oxford University Press;
• I. Karatzas och S.E. Shreve, Brownian motion and Stochastic calculus, Second edition, (1991), Springer Verlag