Stokastisk process

En stokastisk process är den matematiska beskrivningen av en tidsordnad slumpprocess. Teorin för stokastiska processer har inneburit en betydande utvidgning av sannolikhetsteorin och är grunden för den stokastiska analysen.

Processer som kan beskrivas av en stokastisk process är exempelvis antalet bilar som passerar en viss punkt på motorvägen, antalet kunder i en affär vid en viss tidpunkt, och tillförlitligheten av ett system som består av komponenter.

Definition

Givet ett tillståndsrum $\Omega$ och en (tids)parametermängd $T$ så är en stokastisk process en funktion $X:\Omega \times T \longrightarrow \mathbb{R}$.

Vanligtvis utelämnas beroendet av $\omega \in \Omega$ och man skriver $X = \{X_t\}_{t \in T}$ för att beteckna den stokastiska processen. Vid användandet av den här beteckningen förstår man varför den stokastiska processen även definieras som en familj av stokastiska variabler.

Parametermängden $T$ kallas även indexmängd, eftersom det för varje $t \in T$ finns en stokastisk variabel. Beroende på om parametermängden är diskret eller kontinuerlig kommer den stokastiska processen kallas för detsamma. Enligt konvention så är parametermängden alltid oändlig.

För ett visst utfall $\omega_{0} \in \Omega$ så är $X\left(\omega_{0},t\right)$ en reellvärd funktion och den betraktas som realisering av den stokastiska processen.

Exempel

Exempel på stokastiska processer:

• Poissonprocessen
• Weinerprocessen
• Lévyprocessen
• Genetisk drift.

Egenskaper

Sannolikhetsfördelningen för en stokastisk variabel är ett sannolikhetsmått $\mu_t$ på Borel sigma-algebran på mängden av de reella talen $\mathbb{R}$:

$\mu_t(A) = P(X_t \in A), \qquad A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}).$

De ändligt-dimensionella fördelningarna för en stokastisk process är mängden $\{\mu_{(t_1,\dots,t_n)}\}_{t_1,\dots,t_n \in T, n\geq1}$ av alla tänkbara flerdimensionella sannolikhetsfördelningar associerade med den stokastiska processen:

$\mu_{(t_1,\dots,t_n)}(A_1,\dots,A_n) = P(\{X_{t_1} \in A_1\} \cap \cdots \cap \{X_{t_n} \in A_n\}),$

där index $t_1,\dots,t_n \in T$ och mängderna $A_1,\dots,A_n \in \mathcal{B}(\mathbb{R}),$ för varje val av heltalet $n\geq 1.$

Associerade med en stokastisk process är dess väntevärdesfunktion

$m : T \longrightarrow \mathbb{R}$

och dess kovariansfunktion

$c : T \times T \longrightarrow \mathbb{R}.$

Dessa är definierade av följande integraler med avseende på sannolikhetsmåttet $P$.

$m(t) = E[X_t] = \int_{\Omega} X_t(\omega)\, dP(\omega)$

och

$c(s,t) = E[X_{s} X_{t}] - E[X_{s}] E[X_{t}]$,

där väntevärdet $E[X_s X_t]$ beräknas på produktrummet $(\Omega\times\Omega,\mathcal{F}\times\mathcal{F},P\times P):$

$E[X_s X_t] = \int_{\Omega\times\Omega} X_s(\omega) X_t(\eta) \, d(P\times P)(\omega,\eta).$

Om det råkar vara så att de ändligt-dimensionella fördelningarna för den stokastiska processen X är absolutkontinuerliga med avseende på Lebesgue-måttet, så kan ovanstående väntevärden skrivas som

$E[X_t] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_{X_t}(x)\,dx$

och

$E[X_s X_t] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty x y f_{(X_s,X_t)}(x,y) \, dx \, dy,$

där funktionen $f_{X_t} : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ är Radon-Nikodym derivatan av sannolikhetsfördelningen för den stokastiska variabeln $X_t$ med avseende på Lebesgue-måttet på $\mathbb{R}$

$f_{X_t} = \frac{d \mu_t}{dx}.$

Denna derivata kallas inom sannolikhetsteori och statistik för den stokastiska variabelns täthetsfunktion. På motsvarande sätt är funktionen $f_{X_s,X_t} : \mathbb{R}\times\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ Radon-Nikodym derivatan

$f_{X_s,X_t} = \frac{\mu_{s,t}}{dx dy}$

av sannolikhetsfördelningen för den två-dimensionella stokastiska variabeln $(X_s,X_t)$ med avseende på Lebesgue-måttet i planet $\mathbb{R}^2.$

Stokastiska processer är vanligt förekommande inom såväl teknik som ekonomisk och finansiell teori.