Stokastisk process

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Brownsk rörelse är en stokastisk process

En stokastisk process är den matematiska beskrivningen av en tidsordnad slumpprocess. Teorin för stokastiska processer har inneburit en betydande utvidgning av sannolikhetsteorin och är grunden för den stokastiska analysen.

Processer som kan beskrivas av en stokastisk process är exempelvis antalet bilar som passerar en viss punkt på motorvägen, antalet kunder i en affär vid en viss tidpunkt, och tillförlitligheten av ett system som består av komponenter.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Givet

så är en stokastisk process en funktion X:\Omega \times T \longrightarrow S vilken är \mathcal F-mätbar för varje t\in T.

Vanligtvis utelämnas beroendet av \omega \in \Omega och man skriver X = \{X_t\}_{t \in T} för att beteckna den stokastiska processen. Vid användandet av den här beteckningen förstår man varför den stokastiska processen även definieras som en familj av stokastiska variabler.

Parametermängden T kallas även indexmängd, eftersom det för varje t \in T finns en stokastisk variabel. Beroende på om parametermängden är diskret eller kontinuerlig kommer den stokastiska processen kallas för detsamma. Enligt konvention så är parametermängden alltid oändlig.

För ett visst utfall \omega_{0} \in \Omega så är X\left(\omega_{0},t\right) en funktion som antar värden i S och den betraktas som realisering av den stokastiska processen.

Naturlig filtrering[redigera | redigera wikitext]

En filtrering över ett sannolikhetsrum (\Omega,\mathcal F,\mathbb P) är en ordnad familj σ-algebror (\mathcal F_t)_{t\in T}, \mathcal F_t\subseteq\mathcal F; där  \mathcal F_\tau \subseteq \mathcal F_t, d.ä. \mathcal F_\tau är grövre än \mathcal F_t, närhelst \tau\le t. En stokastisk process naturliga filtrering är den familj σ-algebror som är tillbakadragna genom urbilderna under processen X av de där σ-algebror som är genererade av cylindermängderna; d.v.s. den naturliga filtrering är \mathcal F _\bullet^X=(\mathcal{F}_t^X)_{t\in T}, där

\mathcal{F}_t^X=X^*\mathcal{C}yl((X_\tau)|_{\tau\le t})

Den naturliga filtreringen blir finare och finare som tiden t ökas, därför att fler och fler händelser blir utskiljbara—eller mätbara—under denna filtrering precis som processen utvecklas med tid.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Exempel på stokastiska processer:

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Sannolikhetsfördelningen för en reellvärd stokastisk variabel är ett sannolikhetsmått \mu_t på Borel sigma-algebran på mängden av de reella talen \mathbb{R}:

\mu_t(A) = P(X_t \in A), \qquad A
\in \mathcal{B}(\mathbb{R}).

De ändligt-dimensionella fördelningarna för en reellvärd stokastisk process är mängden \{\mu_{(t_1,\dots,t_n)}\}_{t_1,\dots,t_n \in T, n\geq1} av alla tänkbara flerdimensionella sannolikhetsfördelningar associerade med den stokastiska processen:

\mu_{(t_1,\dots,t_n)}(A_1,\dots,A_n) 
= 
P(\{X_{t_1} \in A_1\} \cap \cdots \cap \{X_{t_n} \in A_n\}),

där index t_1,\dots,t_n \in T och mängderna A_1,\dots,A_n \in \mathcal{B}(\mathbb{R}), för varje val av heltalet n\geq 1.

Associerade med en stokastisk process är dess väntevärdesfunktion

m : T \longrightarrow \mathbb{R}

och dess kovariansfunktion

c : T \times T \longrightarrow \mathbb{R}.

Dessa är definierade av följande integraler med avseende på sannolikhetsmåttet P.

m(t) = E[X_t] = \int_{\Omega} X_t(\omega)\, dP(\omega)

och

c(s,t) = E[X_{s} X_{t}] - E[X_{s}] E[X_{t}],

där väntevärdet E[X_s X_t] beräknas på produktrummet (\Omega\times\Omega,\mathcal{F}\times\mathcal{F},P\times P):

E[X_s X_t] = \int_{\Omega\times\Omega} X_s(\omega) X_t(\eta) \, d(P\times P)(\omega,\eta).

Om det råkar vara så att de ändligt-dimensionella fördelningarna för den stokastiska processen X är absolutkontinuerliga med avseende på Lebesgue-måttet, så kan ovanstående väntevärden skrivas som

E[X_t] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_{X_t}(x)\,dx

och

E[X_s X_t] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty x y f_{(X_s,X_t)}(x,y) \, dx \, dy,

där funktionen f_{X_t} : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} är Radon-Nikodym derivatan av sannolikhetsfördelningen för den stokastiska variabeln X_t med avseende på Lebesgue-måttet på \mathbb{R}

f_{X_t} = \frac{d \mu_t}{dx}.

Denna derivata kallas inom sannolikhetsteori och statistik för den stokastiska variabelns täthetsfunktion. På motsvarande sätt är funktionen f_{X_s,X_t} : \mathbb{R}\times\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} Radon-Nikodym derivatan

f_{X_s,X_t} = \frac{\mu_{s,t}}{dx dy}

av sannolikhetsfördelningen för den två-dimensionella stokastiska variabeln (X_s,X_t) med avseende på Lebesgue-måttet i planet \mathbb{R}^2.

Stokastiska processer är vanligt förekommande inom såväl teknik som ekonomisk och finansiell teori.

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.

Referenser[redigera | redigera wikitext]