Klotoid
Klotoid är en kurva med linjär krökningsändring. Klotoider används ofta för att ge mjuka övergångar mellan raksträckor och kurvor på vägar och järnvägar, men används även i till exempel berg- och dalbanor, bland annat på Gröna lund och Liseberg.[1]
Utseende
Rent geometriskt är klotoiden en spiral.
I CAD system finns ofta inbyggda funktioner för att skapa klotoidövergångar i en linje mellan ett antal kurvor (NURBS /Bezier)
Historia
På tidiga järnvägar rullade tågen sakta, vilket gjorde att det inte behövdes mjuka övergångar mellan raksträckor och kurvbågar. Mot slutet av 1800-talet ökade hastigheterna och därmed ökade slitaget på räl och vagnshjul på avsnitt där kurvradien var snäv. Därmed kom insikten att det behövs mjuka övergångar med gradvis ökande krökning, dvs ett spiralformat element, mellan raksträcka och kurvbåge. Rankine [2] citerar flera sådana kurvor. Klotoiden fick alltså på sent 1800-tal en viktig tillämpning inom järnvägsbyggande. Äran för att ha formulerat den första exakta beskrivningen av klotoidens ekvation brukar bland järnvägsfackfolk tillskrivas Ellis Holbrook[3].
Klotoiden, eller den likvinkliga spiralen, har dock en mycket längre historia än inte bara järnvägen utan t o m hela vetenskapen om matematik. Spiraler har skapats sedan urhistorisk tid, bl a i form av arrangemanget av solrosfrön i solrosor och hos snäckskal, bland många andra naturfenomen. Klotoiden är känd under många olika namn. Descartes gav den år 1638 namnet "likvinklig spiral". Torricelli (död 1647) visade att radierna ändras gradvis och att vinklarna ökar med jämn takt. Från detta härledde han ekvationen s = a*r. Jacob Bernoulli (1654-1705), kallade klotoiden "logaritmisk spiral" och var så fascinerad av det matematiska elementets skönhet att han begärde att den benämningen skulle stå på hans gravsten. Några andra vanligt förekommande benämningar är Euler-integral, Eulers spiral, Fresnel-integral samt Cornus spiral.
Användning
Klotoider används ofta i järnvägssammanhang. Se spårgeometri. Klotoiden ger en övergångskurva mellan rakspår och cirkulärkurvan och därefter åter en övergångskurva mot nästa rakspår. Klotoider kan även gälla vertikala kurvor (lutningar) och rälsförhöjningar (sidolutningar). Klotoidkrökningen gör att påkänningarna mellan hjul och räls minskar liksom rörelsesjuka. Det kan också vara en linjär krökningsändring mellan två olika stora cirkulära kurvor. På moderna spårvägar bygger man nästan uteslutande med övergångskurvor i trafikspår då många moderna vagnkonstruktioner är känsliga för plötsliga ändringar i kurvradier.
Klotoider ger fler svåra olyckor i vägtrafiken
Klotoider (en. spirals) används vid vägutformning i många stater. Emellertid har de aldrig införts bl a i vissa delstater i USA, däribland Kalifornien. Forskare har jämfört olycksutfallet mellan kurvor med respektive utan klotoider. Resultaten visar att det sker fler olyckor med klotoider än utan[4].
Djupstudier av dödsolyckor på landsväg i Norge visar att dåliga egenskaper hos vägen bidragit till nästan hälften av dödsolyckorna. De norska djupstudierna pekar på att den enskilt farligaste vägfaktorn är väglinjeföring som kan "lura" fordonsförare; drygt hälften av vägrelaterade olyckor hamnar i denna grupp. Efter sammanställning av djupstudierna, lyfter Statens Vegvesen särskilt fram "äggformade kurvor" (klotoider) som allvarligt bidragande faktor bakom många olyckor[5].
Skäl till varför klotoider ger farligare vägar
Forskare i Skottland har funnit att en anledning att "äggformade" kurvor ger fler olyckor, är att deras mjuka ingång ökar risken att förare missbedömer hur tvär kurvan faktiskt är[6]. Dvs högsta säkra kurvhastighet överskattas. En annan anledning är att många kurvor blir tvärare (ger högre sidkraft och därmed större olycksrisk) om klotoider används. Detta beror på att klotoiderna tar plats, vilket kan innebära att huvudbågens radie måste göras snävare och därmed farligare. Normalt ska hastighetsgränsen anpassas till kurvorna, men det är vanligt med hastighetsöverträdelser.
På järnväg är högsta tillåtna hastighet noggrannare anpassad till varje kurva än i vägtrafiken, där man ofta har en standardhastighetsbegränsing. Dessutom finns ofta tekniska system som förhindrar fortkörning på järnväg och normalt känner lokföraren till linjen. Därför är klotoidkurvor vanligen inget säkerhetsproblem på järnväg.
Naturlig förekomst
Klotoider förekommer i många sammanhang i naturen. På snäckskal, hos växter och i rymden.
När man böjer ett material, till exempel ett sågblad, bildas i vissa fall klotoidövergångar eftersom de ger minst energi i böjningen. Detta gäller till exempel om materialet är fast inspänt i ena änden.[7]
Se även
Fotnoter
- ^ Pendrill, Ann-Marie (2005). ”Fysik och liv”. Fysikaktuellt (Svenska Fysikersamfundet) (nr 2): sid. sid 3. Arkiverad från originalet den 12 augusti 2010. https://web.archive.org/web/20100812194950/http://www.fysikersamfundet.se/Fysikaktuellt/2005_2.pdf. Läst 17 mars 2010.
- ^ Rankine, William (1883). A Manual of Civil Engineering (17th edition ed.). Charles Griffin. pp. 651–653
- ^ Charles Crandall, Railroad Gazette, 3 Dec 1880
- ^ Gregory K.J. Tom. "Accidents on Spiral Transition Curves". ITE Journal. Sept 1995
- ^ Dybdeanalyse av dödsulykker i vegtrafikken i Region Midt i 2006. Årsrapport fra ulykkesanalysegruppe. Statens Vegvesen, Norge
- ^ Stewart & Chudworth. "A Remedy for Accidents at Bends". Traffic Eng & Control. Vol 31. No 2.
- ^ ”Böjning”. Omkrets arkitektur. juli 2007. http://www.omkrets.se/bending/index.htm. Läst 17 mars 2010.
Externa länkar
- ”Kapitel 7, Övergångskurvor”. Vägar och gators utformning (VGU). Publikation / Vägverket, 1401-9612 ; 2004:80. Borlänge: Vägverket. maj 2004. Libris 9679243. http://www.vv.se/PageFiles/10368/07_overgangskurvor.pdf?epslanguage=sv. Läst 17 mars 2010
- thegeometryofbending.blogspot.com