Liouvilles lambda-funktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Liouvilles λ-funktion, betecknad λ(n) och namngiven efter Joseph Liouville, är en viktig aritmetisk funktion inom talteorin.

Om n är ett positivt heltal definieras λ(n) som:

λ(n) = (-1)Ω(n),

där Ω(n) är antalet primfaktorer till n räknade med multiplicitet.

λ är komplett multiplikativ eftersom Ω(n) är komplett additiv. Vi har att Ω(1)=0 och därför att λ(1)=1. Liouville-funktionen satisfierar följande likhet:


\sum_{d|n}\lambda(d) =
\begin{cases}
1 & \text{om }n\text{ n är en kvadrat} \\
0 & \text{annars.}
\end{cases}

Genererande funktioner[redigera | redigera wikitext]

Dirichletserien vars koeficcienter är λ(n) ges av

\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}

där ζ(s) är Riemanns zeta-funktion.

Lambertserien vars koeficcienter är λ(n) ges av

\sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)q^n}{1-q^n} = 
\sum_{n=1}^\infty q^{n^2} = 
\frac{1}{2}\left(\vartheta_3(q)-1\right)

där \vartheta_3(q) är Jacobis thetafunktion.

Se även[redigera | redigera wikitext]