Möbiusfunktionen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Möbiusfunktionen är inom talteorin en aritmetisk funktion definierad enligt:

\mu(n) = \left\{\begin{matrix} 0 & \mbox{om }p^2|n\mbox{ där } p \mbox{ är ett primtal}\\ 1 & \mbox{om }n=1 \\ (-1)^k & \mbox{om } n \mbox{ är en produkt av } k \mbox{ distinkta primtal} \end{matrix}\right.

Om man summerar möbiusfunktionen får man Mertensfunktionen.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

  • För alla n \geq 2 gäller
\sum\limits_{d|n}\mu(d)=0.
  • Möbiusfunktionen kan räknas med hjälp av formeln
\mu(n) = \sum_{\stackrel{1\le k \le n }{ \gcd(k,\,n)=1}} e^{2\pi i \tfrac{k}{n}}.
  • \sum\limits_{k=1}^n \mu(k)\left[\frac{n}{k}\right]=1
  • \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\mu(k)}{k}=0
  • \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\mu(k)\ln k}{k}=-1

Genererande funktioner[redigera | redigera wikitext]

\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}
 \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{|\mu(n)|}{n^s} \equiv \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu^2(n)}{n^s}

Se även[redigera | redigera wikitext]