Median

Medianen är det tal i en mängd som storleksmässigt ligger så att det finns lika många tal som är större än och mindre än medianen. Av talen 1, 7, 9, 10 och 17 är 9 medianen (medan 8,8 är medelvärdet). För mängder med ett jämnt antal tal definieras medianen som medelvärdet av de två tal som ligger i mitten.

Medianen kan i vissa fall ge en bättre bild av vad som är ”normalt” än vad ett medelvärde kan, speciellt om man har ett fåtal mätvärden som kraftigt avviker från de andra. Termerna median, medelvärde och typvärde hör till gruppen lägesmått. Medianen är ett av de många räknesätten inom matematik. I algoritmstudier är ett välbekant problem att hitta medianen bland fem tal med endast sex jämförelser.

Medianen har stor tolerans för felmätningar, så länge dessa är symmetriska kring det verkliga värdet. Notera att definition av median bara täcker en dimensions värden. För fler dimensioner så krävs andra metoder. Medianen används främst då man misstänker fel eller oönskade värden i mängden som kan vara mycket större eller mindre en genomsnittet, eller för att manipulera data så att man får ett centrumvärde som mer passar ens behov. Det bör noteras att det inte finns någon standard av betäckning av medianen. Vissa författare använder till exempel ~x eller m. I vanliga fall definieras konceptet då symbolerna införs. Medianen kan inom ekonomiska läroböcker definieras bara som mittenvärdet av ordnade tal i ökande ordning, men det påverkar eller begränsar inte medianens värde.

Definition

Anta att det finns n värden. Medianen är definierad som det värde med den ordnade positionen av $(n + 1)/2$. Om mängden n är jämnt till antal så är medianen av n definierat som det genomsnittliga värdet av de mellanliggande värdarna av positionerna $n/2+1$ och $n/2$.

Så om det finns 7 värden så är medianen definierad som värdet av det tal med positionen $(7+1)/2=4$. Om det finns 8 värde så är medianen definierad som värdet av talet med positionerna $((8+1)/2=5$ och $8/2)/2=4$ delat på två.

Två exempel på detta är följande Ojämna antal tal (7): Medianen av 1, 1, 2, 3, 6, 6, 20 är 3 ty då talen är ordnade och $(7+1)/2=4$ ger positionen 4 som har värdet 3. Jämna antal tal (6): Medianen av 1, 1, 2, 3, 6, 6 är 2,5 ty då talen är ordnade och $((6/2)+1=4$ och $6/2=3$ ger positionen 3 och 4 som har värdarna 2 och 3 vars medelvärde är 2,5.

Applikationer och fördelar

Medianen har fördelen att vara mindre känslig mot asymmetriska mängder än andra lägesmått så det är generellt sätt bättre för att observera tendenser mellan centralvärden då man har extremvärden som inte överstämmer med resten av mängden i hörnen av ordnade uppställningar. Till exempel så har följande värden samma median trotts att deras medelvärde och typvärde är relativt långt ifrån varandra.

Mängd 1: 1, 1, 2, 3, 5, 7, 7, 7, 8. Median 5, Medelvärde ca 4,56, Typvärde 7

Mängd 2: 0, 0, 0 ,1, 5, 6, 6, 7, 7. Median 5, Medelvärde ca 3,56, Typvärde 0

Mängd 3: 0, 1, 2, 3, 5, 9, 9, 100, 10000. Median 5, Medelvärde ca 1125,4, Typvärde 9

Dock så är medianen inte alltid bästa valet för att få ut bra data. Det är upp till situationen mer en något annat som avgör vad som anses passande. Ett exempel är att man använder gärna medianen av löner för att beräkna en standardlön på ett företag, då det ofta finns få individer som har mycket högre lön en medianen och de skulle med genomsnitt öka ”standardlönen” substantiellt.

Andra användningar av medianen

Medianfilter I signalprocessorer används medianen för att eliminera störningar genom att titta på signalens grannar och se vad som är troligt att vara där istället för vilket värde som det nu råkar ha.

Historik

Idén påstås komma från Edward Wrights bok om navigation, där han föreslår att man tar medianen av en serier av observationer av en kompass för att få fram troligaste rätta värde. Antoine Augustin Cournot var den första att använda tarmen median (valeur médiane) för just det vi menar med median idag år 1843. Gustav Gechner gjorde medianen populär som verktyg för formell analys av data.

Källor

• Boslaugh, Sarah (2012), Statistics in a Nutshell, Second Edition (utgåva 2), O'Reilly Media, Inc, ISBN 978-1-449-31682-2 
• Alm, Sven Erik (2007), Sannolikhetsteori och Statistikteori med tillämpningar