Multipelintegral

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Multipelintegral är en typ av integral utökad till funktioner av flera variabler, till exempel f(x,y) eller f(x,y,z).

Vid integration av funktioner av en variabel f(x) är integralen ett mått på arean under funktionsgrafen. I fallet med funktioner av två variabler är integralen ett mått på volymen under funktionsytan och dess definitionsområde D\subset \mathbb{R}^2

Definition[redigera | redigera wikitext]

Den icke-generaliserade multipelintegralen av fD\subseteq \mathbb{R}^n kan definieras som gränsvärdet av \sum_{i_1, \ldots, i_n} c_{i_1,\ldots, i_n} \Delta_{i_1,\ldots,i_k} när storleken på de axelparallella 'rätblocken' \Delta_{i_1,\ldots,i_n}, som ska bilda en partition av D, går mot noll, och där \exists \bar{x} \in \Delta_{i_1,\ldots,i_n}:f(\bar{x})=c_{i_1,\ldots,i_n}.

Exempel på en dubbelintegral[redigera | redigera wikitext]

Betrakta det triangulära området D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \, | \, 0 \leq x \leq1, 0\leq y \leq x\} i xy-planet och integranden f(x,y)=1-y

 \iint_D (1-y) dx\, dy.

Genom upprepad enkelintegration kan denna dubbelintegral beräknas som två enkelintegraler. Integrera först med avseende på y:

\int_0^1 \left( \int_0^x (1-y) dy\right) dx = \int_0^1 \left(\left[y-\frac{y^2}{2} \right]_0^x \right)dx = \int_0^1 x-\frac{x^2}{2}dx = \left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\right]_0^1 = \frac{1}{3}


Se även[redigera | redigera wikitext]


Small Sketch of Owl.pngDen här artikeln är helt eller delvis baserad på material från Nordisk familjebok, 1904–1926.