Dubbelintegral

Dubbelintegral som volym under ytan:  z = x² − y².

En dubbelintegral är en integral där integranden själv är en integral. Dubbelintegralen kallas också för ytintegral då den integrerar över två variabler, integration sker över en yta. Dubbelintegralen kan användas till att beräkna volymer av tredimensionella kroppar.

Matematisk definition

Integral av en trappfunktion

Trappfunktion. Rätblockens volym summeras för att få fram en totalvolym för

För att definiera en dubbelintegral kan trappfunktioner av två variabler användas. Trappfunktioner i två variabler är funktioner som bildar en "trappa" genom att ha en rektangulär basyta som är axelparallell i definitionsmängden,

$\Delta = \left\{ (x,y); a \le x \le b, c\le y \le d \right\}$

dessa rektanglar får sedan en viss höjd utefter hur funktionsvärdet ser ut den delen av definitionsmängden. Detta bildar då ett rätblock som har en volym (se bild trappfunktion). Rätblock som ligger under xy-planet har en negativt bidrag. Volymbidragen, positiva som negativa, från dessa rätblock summeras och blir värdet på integralen. Ett allmänt skrivsätt är:

$\sum_{i,j}^N c_IJ \mu (\Delta_{i,j}) \mbox{ , där } \mu\Delta_{i,j} \mbox{ är arean av rektangeln } \Delta_{i,j}$. För dubbelintegralen av Φ över Δ kan skrivas: $\iint\limits_\Delta \phi(x,y) \, dx \, dy$

Dubbelintegral för godtyckliga funktioner

Integration över allmännare funktioner än trappfunktioner påminner till stor del av hur det ser ut för en variabel. Att integrera över en godtycklig yta bygger mycket på integration över rektanglar. Om $f(x,y)$ är en begränsad funktion definierad på en axelparallell rektangel $\Delta$ i xy-planet, då finns det trappfunktioner

$\psi \text{ och } \phi \text{ som uppfyller } \psi(x,y) \le f(x,y) \le \phi(x,y) \mbox{ där } x,y \in \Delta$.

Den begränsade funktionen $f(x,y)$ är Riemannintegrerbar om det till varje tal $\epsilon > 0$ finns trappfunktioner $\phi \psi$ sådana att $\phi \le f \le \psi$ och $\int \int_{\Delta} \psi dx dy - \int \int_{\Delta} \phi dx dy < \epsilon$ Funktionen är då riemannintegrerbar om det är möjligt att få de båda trappfunktionera godtyckligt nära varandra. Detta är möjligt genom att välja finfördela den rektangel Δ som integration sker över. För "snälla" funktioner är det ofta möjligt men det finns funktioner som är "dåliga" och där det inte går att integrera. Om funktionen $f$ är en funktion som är integrerbar över Δ så finns ett och endast ett tal λ sådant att,

$\iint \limits_\Delta \phi \, dx \,dy \le \lambda \le \iint\limits\Delta \psi \, dx \,dy$

för alla trappfunktioner Φ och Ψ sådana att, $\phi \le f \le \psi$. Talet λ kallas dubbelintegralen av $f \mbox{ över } \Delta och skrivs: <math> \iint\limits_\Delta f(x,y) \, dx \,dy$.

Dubbelintegral över ett godtyckligt område

Godtyckligt integrationsområde

Integration över allmännare områden än rektanglar är också önskvärt att kunna göra. Om funktionen $f(x,y)$ är en funktion som är begränsad på en mängd $D$ som också är begränsad och inför den utvidgade funktionen

$f_D (x,y) = \begin{cases}f(x,y) & \mbox{när }(x,y)\in D \\ 0 & \mbox{när}(x,y)\notin D \end{cases}$

Funktionen f är integrerbar över $D$ om $f_D$ är integrerbar över någon rektangel $\Delta$ som omfattar mängden $D$ , det är då möjligt att sätta

$\iint\limits_D f \, dx\,dy = \iint\limits_\Delta f \, dx\,dy$.

Det går att gör detta eftersom $f_D$ har värde noll utanför mängden $D$ är definitionen oberoende av valet av rektangel $\Delta$

Räknelagar för dubbelintegraler

Det finns några räknelager för dubbelintegraler, som påminner mycket om de räknelagar som finns för integraler som bara beror av en variabel. De räkneregler nedan gäller för det godtyckliga området $D$, så de gäller även för integration över rektanglar.

• $\int \int_{D}\alpha f \,dx \, dy = \alpha \int \int_{D} f \,dx \, dy \mbox { där } \alpha \mbox{ är en konstant}$

• $\int \int_{D} (f + g) \,dx \, dy = \int \int_{D} f \,dx \, dy + \int \int_{D} g \,dx \, dy$

• $f \le g \mbox{ på } D \Rightarrow \int \int_{D} f \,dx \, dy \le \int \int_{D} g \,dx \, dy$

• $\left |\int \int_{D} f \,dx \, dy \right | \le \int \int_{D} |f| \,dx \, dy$

• $D_1 \cap D_2 = \empty \Rightarrow \int \int_{D_1 \cup D_2} f \,dx \, dy = \int \int_{D_1} f \,dx \, dy + \int \int_{D_2} f \,dx \, dy$

Integrationsmetoder

Lösning för en dubbelintegral eller multipelintegral är ofta att hitta ett sätt att kunna reducera integralen till en serie av integraler som endast beror på en variabel. Dessa integraler av en variabel löses direkt. Denna metod kallas för upprepad integration.Det kan dock ibland gå att få en lösning utan att beräkningar görs genom att undersöka dubbelintegralen och se lösning. När en dubbelintegral ska lösas via upprepad integration finns det två olika vägar att följa. Börja att integrera med avseende på den första variabel eller den andra. Beroende på hur funktionen ser ut som ska integreras kan det vara av stor vikt att välja rätt.

Exempel

Vanliga volymer

• Cylinder: En cylinders, som har höjden h och vars basarea har en radie som är R, volym kan beräknas genom att integrera den konstanta funktion h över basytan, genom polära koordinater.

$V = \int_{0}^{2pi} d\phi \int_{0}^{R}h\rho d\rho = h2 \pi \left[\frac{\rho^2}{2}\right]_0^R = \pi R^2h$

Räkneexempel

Exempel på val av skillnad i svårighet beroende på vägval

Beräkna integralen

$\int_{-1}^{0} \int_{0}^{-x} e^{x^{2}}\,dy \,dx$

Om den första integrationen sker med avseende på variabeln y och den andra integrationen sker med avseende på x är funktionen beräkningsbar enligt:

$\int_{-1}^{0} \int_{0}^{-x} e^{x^{2}}\,dy \,dx = \int_{-1}^{0} \left[ye^{x^2} \right]_0^{-x} \, dx = \int_{-1}^{0} -xe^{x^2} \, dx = \left[ \frac{-e^{x^2}}{2}\right]_{-1}^0 = \frac{-1}{2} + \frac{e}{2} = \frac{e-1}{2}$

Integralen går dock inte att beräkna på detta sätt om den första integrationen ska ske med avseende på x. eftersom funktionen: $e^{x^2}$ inte har någon primitiv funktion. Det omöjliggör att lösa beräkna integralens värde den vägen.

Beräkning av en dubbelintegral över ett godtyckligt område

$I = \int \int_{D}^{} y\, dx \,dy$ Där $D$ är triangeln med hörn (0,0), (2,1) och (1,2).

Lösning: Området har en sådant utseende att för att kunna beräkna integralen måste det delas upp i två integraler; det är oavsett vilken variabel som integreras först. Området delas på ett sätt så att den ursprungliga triangeln ger två nya trianglar. Beräkning av den första integralen det vill säga den området som ligger närmast x-axeln får lättare beräkningar om den första variabeln som integreras är $x$. Detta ses genom att integralen inte innehåller den variabeln och därför får en mycket lätt primitiv.

$I_1 = \int \int_{D_1}^{} y\, dxdy = \int_{0}^{1} y \left(\int_{x=\frac{y}{2}}^{2y}dx\right) dy = \int_{0}^{1}y\left(2y-\frac{y}{2} \right)dy = \frac {3}{2} \int_{0}^{1}y^2 dy = \frac{1}{2}$

Den andra nya triangeln blir också lättare att beräkna om den första integrations sker med avseende på $x$.

$I_2 = \int \int_{D_2} y\, dx \,dy = \int_{1}^{2}\left( y\int_{x=\frac{y}{2}}^{3-y} \, dx \right) \,dy = \int_{1}^{2} y\left(3-y-\frac{y}{2}\right) \, dy = \int_{1}^{2} \left( 3y - \frac{3}{2}y^2 \right) \, dy = \left[\frac{3}{2}y^2-\frac{1}{2}y^3\right]_1^2 = 1$

Avslutningsvis, enligt den andra räkneregeln, är det möjligt att nu addera ihop de båda värden som fåtts från de båda integralerna. $I = I_1 + I_2 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$

Se även

• Multipelintegral
• Integral