Poissonprocessen

Poissonprocessen är en heltalsvärd stokastisk process i kontinuerlig tid som används för att beskriva slumpmässiga händelser som sker med en viss intensitet/frekvens. Processen är uppkallad efter den franske matematikern Siméon-Denis Poisson (1781–1840).

Processen används i tillämpningar när man ska beskriva till exempel dynamiken i en kö, hur den uppstår och upphör i och med att kunder kommer till kön enligt en viss poissonfördelad frekvens.

Om intensiteten är konstant talar man om en homogen poissonprocess, i annat fall är processen inhomogen. Det gäller för en poissonprocess X(t), $t \geq 0$ med intensitetsfunktion $\lambda(t)$ att:

• X(t) är heltalsvärd och ökande. Dessutom är X(0) = 0
• X(t) har oberoende ökningar. Det innebär att X(t) - X(s) och X(v) - X(u) är oberoende för varje val av $0 \leq s < t < u < v$
• $X(s +t) - X(t)$ är poissonfördelad med parameter $\int_{t}^{s+t} \lambda(u) du$

Dessutom, om λ är konstant är processen stationär, och händelseavstånden är oberoende och exponentialfördelade.

Poissonprocessen kan generaliseras till en mer allmän delmängd av $\mathbb{R}^n$. Poissonprocessen är ett exempel på en förnyelseprocess.