Schurs sats

Schurs sats är en sats inom linjär algebra. Satsen är uppkallad efter den judiske matematikern Issai Schur (1875 - 1941) som bland annat studerade under Frobenius. Enligt satsen kan alla n × n-matriser, i någon bas, representeras av en uppåt triangulär matris.

Schurs sats

Låt $A:V\rightarrow V$ vara en linjär avbildning och $V$ vara ett (komplext) vektorrum. Då finns det en ortonormerad bas för V så att A i denna bas representeras av en uppåt triangulär matris, det vill säga alla n × n-matriser kan skrivas på formen

A=UTU^{-1}\,

där U är en unitär matris (inversen av U är lika med det hermiteska konjugatet för U) och T är en uppåt triangulär matris med egenvärdena till A på diagonalen.

Bevis

Satsen bevisas genom matematisk induktion.

Låt $V$ vara ett vektorrum och $A:V\rightarrow V$ vara en linjär avbildning.

Satsen är sann om $\dim(V)=1$ (då en 1 × 1-matris är uppåt triangulär).
Antag att satsen är sann då $\dim(V)=n-1$ .

Låt ${\bar {u}}_{1}$ vara en normerad egenvektor till A som hör till egenvärdet $\lambda _{1}$ , dvs

A{\bar {u}}_{1}=\lambda _{1}{\bar {u}}_{1},\ {\begin{Vmatrix}{\bar {u}}_{1}\end{Vmatrix}}=1

.

Låt nu W vara det ortogonala komplimentet till ${\bar {u}}_{1}$ ,

W=\left[{\bar {u}}_{1}\right]^{\perp }

.

Dimensionen för W blir då $\dim(V)-1=n-1$ .
Låt vektorerna ${\bar {v}}_{2},{\bar {v}}_{3},\cdots ,{\bar {v}}_{n}$ vara en ortonormerad bas för W.

Då utgör ${\bar {u}}_{1},{\bar {v}}_{2},{\bar {v}}_{3},\cdots ,{\bar {v}}_{n}$ en ortonormerad bas för V.

I denna bas representeras A av matrisen

{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&*&\cdots &*\\0&b_{11}&\cdots &b_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&b_{n1}&\cdots &b_{nn}\end{pmatrix}}

Första kolonnen består endast av egenvärdet $\lambda _{1}$ följt av nollor. Alla element till höger om $\lambda _{1}$ på första raden är ointressanta.

Däremot låter vi det nedre högra blocket definiera en ny avblidning $B:W\rightarrow W$ .
Då $\dim(W)=n-1$ så finns enligt antagandet en ortonormerad bas ${\bar {u}}_{2},{\bar {u}}_{3},\cdots ,{\bar {u}}_{n}$ för $W$ så att B övergår i uppåt triangulär form i denna bas, vilket medför att även $A$ , i basen ${\bar {u}}_{1},{\bar {u}}_{2},{\bar {u}}_{3},\cdots ,{\bar {u}}_{n}$ , övergår uppåt i triangulär form.

Anmärkningar

Även om man utgår från en reell matris så kan matriserna $U$ och $T$ ha komplexa element.
Exempel: rotationsmatrisen
${\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}$
har endast komplexa egenvärden, och då $T$ har egenvärden på diagonalen så kommer $T$ i detta fall ha komplexa värden på diagonalen.

Om $A$ är en normal matris ( $AA^{*}=A^{*}A$ ) så är matrisen $T$ diagonal med egenvärden på diagonalen. Därmed så kan Schurs sats ses som en utvidgning av spektralsatsen.