Spektralsatsen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Spektralsatsen är en samling satser inom linjär algebra. Satserna anger vilka linjära avbildningar som har en bas av ortonormerade egenvektorer och alltså kan diagonaliseras i denna bas, det vill säga huruvida matrisen A kan uttryckas som

 A = UDU^*

där D är en diagonalmatris och U är en unitär matris.

Satsen anger dels att vissa matriser är diagonaliserbara, dels att det inte är nödvändigt att beräkna en invers, vilket är fallet vid allmänna diagonaliseringar, då matrisen skrivs

 A = TDT^{-1} .

Spektralsatser[redigera | redigera wikitext]

Spektralsatsen finns i flera utföranden. Spektralsatsen för symmetriska avbildningar är oftast den enda som lärs ut i en grundkurs i linjär algebra.

Symmetriska avbildningar[redigera | redigera wikitext]

Om  V är ett ändligt-dimensionellt reellt euklidiskt rum gäller följande:

 F:V \rightarrow V är en symmetrisk linjär avbildning  \Rightarrow
V har en ortonormerad bas av egenvektorer till  F .

Hermitska avbildningar[redigera | redigera wikitext]

Om  V är ett ändligt-dimensionellt komplext euklidiskt rum gäller följande:

 F:V \rightarrow V är en hermitsk linjär avbildning  \Rightarrow
V har en ortonormerad bas av egenvektorer till  F .

Normala avbildningar[redigera | redigera wikitext]

Om  V är ett ändligt-dimensionellt komplext euklidiskt rum gäller följande:

 F:V \rightarrow V är en normal linjär avbildning  \Leftrightarrow
V har en ortonormerad bas av egenvektorer till  F .

Notera ekvivalensen: Normala linjära avbildningar är alltså exakt de avbildningar som kan diagonaliseras med en bas av ortonormerade egenvektorer.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Symmetriska avbildningar[redigera | redigera wikitext]

Spektralsatsen bevisas för en reell symmetrisk avbildning F genom matematisk induktion över dimensionen p för vektorrummet \mathbb E som F verkar på.

  • Visar att satsen gäller för p = 1.
Vektorn \bar{f}_0 tillhör rummet \mathbb E och har längden (beloppet) 1 vilket ger att F:s avbildning av \bar{f}_0 är en multipel av sig själv.
Vektorn  \bar{f}_0 är alltså en egenvektor till F och därmed den sökta basen till rummet.
  • Antar vidare att satsen är sann för rum av dimensionen p, vilket åtminstone stämmer då dimensionen av rummet är 1 (enligt ovan). Visar då att satsen även är sann för rum av dimensionen p + 1.
Om  \lambda_1 är en reell rot till sekularekvationen för F i rummet \mathbb{E} och vektorn \bar{f}_1 är tillhörande egenvektor till F med längden 1, dvs F(\bar f_1) = \lambda_1 \bar f_1.
Bildar mängden V som innehåller alla vektorer i \mathbb{E} som är ortogonala mot \bar{f}_1. Dimensionen för V blir alltså p.
Fyller ut \bar{f}_1 till en ON-bas för \mathbb{E}.
F:s matris i den basen blir då symmetrisk enligt: \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \cdots & a\\ \vdots &  \vdots & \ddots & b \\ 0 & a & b & c \end{pmatrix}, vilket följer av att (TAT^T)^T = TAT^T.
V har dimension p, så existerar ortonormala egenvektorer \bar f_2, \bar f_3, \dots, \bar f_{p+1} till F begränsat till rummet V enligt induktionsantagandet.
Det betyder i sin tur att \bar{f}_1 , \bar{f}_2 , ...\, , \bar{f}_p , \bar{f}_{p+1} är en ortonormerad bas bestående av egenvektorer till F
  • Satsen är sann inledningsvis och om den är sann för rum av dimensionen p så är den även sann för rum av dimensionen p+1. Då är satsen sann i all oändlighet enligt induktionsaxiomet.

Normala avbildningar[redigera | redigera wikitext]

Schurs sats kan användas för att bevisa att en normal matris kan diagonaliseras med en unitär matris.

Låt A vara en normal matris. Det finns då, enligt Schurs sats, en unitär matris U så att A = UTUH, där T är en uppåt triangulär matris med A:s egenvärden på diagonalen. Man får då att:

AA^H = UTT^HU^H ~~~ A^HA = UT^HTU^H.

A är normal och U inverterbar ger detta att TTH = THT. T är uppåt triangulär och TH är nedåt triangulär, så för att produkterna TTH och THT ska vara lika måste T vara diagonal.

Historia[redigera | redigera wikitext]

Spektralsatsen utformades under början av 1800-talet av Augustin-Louis Cauchy.

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Kvadratiska former[redigera | redigera wikitext]

En kvadratisk form kan skrivas som en symmetrisk matris och kan därför diagonaliseras med en ortonormerad bas. Den blir då mer lätthanterlig. Spektralsatsen kan i vissa fall vara formulerad som att en kvadratisk form i ett euklidiskt rum har en kanonisk ortonormerad bas. Detta gör att spektralsatsen kan användas för att bestämma olika andragradsytors huvudaxlar.

Exempelvis kan den kvadratiska formen

 k(x_1,x_2,x_3)= x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2 + 6x_2x_3 + x_3^2

skrivas på matrisform som

 k(\mathbf{x}) = 
\begin{pmatrix}
x_1 & x_2 & x_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 \\
2 & 1 & 3 \\
0 & 3 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3
\end{pmatrix}

och där egenvärdena är

 1, 1 - \sqrt{13}, 1+\sqrt{13},

så att k i den nya basen kan skrivas

k'(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + (1 - \sqrt{13})x_2^2 + (1 + \sqrt{13})x_3^2.

Referenser[redigera | redigera wikitext]