Spektralsatsen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Spektralsatsen är en samling satser inom linjär algebra. Satserna anger vilka linjära avbildningar som har en bas av ortonormerade egenvektorer och alltså kan diagonaliseras i denna bas, det vill säga huruvida matrisen A kan uttryckas som

 A = UDU^*

där D är en diagonalmatris och U är en unitär matris.

Satsen anger dels att vissa matriser är diagonaliserbara, dels att det inte är nödvändigt att beräkna en invers, vilket är fallet vid allmänna diagonaliseringar, då matrisen skrivs

 A = TDT^{-1} .

Spektralsatser[redigera | redigera wikitext]

Spektralsatsen finns i flera utföranden. Spektralsatsen för symmetriska avbildningar är oftast den enda som lärs ut i en grundkurs i linjär algebra.

Symmetriska avbildningar[redigera | redigera wikitext]

Om  V är ett ändligt-dimensionellt reellt euklidiskt rum gäller följande:

 F:V \rightarrow V är en symmetrisk linjär avbildning  \Rightarrow
V har en ortonormerad bas av egenvektorer till  F och egenvärdena är reella.

Hermitska avbildningar[redigera | redigera wikitext]

Om  V är ett ändligt-dimensionellt komplext euklidiskt rum gäller följande:

 F:V \rightarrow V är en hermitsk linjär avbildning  \Rightarrow
V har en ortonormerad bas av egenvektorer till  F och egenvärdena är reella.

Normala avbildningar[redigera | redigera wikitext]

Om  V är ett ändligt-dimensionellt komplext euklidiskt rum gäller följande:

 F:V \rightarrow V är en normal linjär avbildning  \Leftrightarrow
V har en ortonormerad bas av egenvektorer till  F (men egenvärdena är i allmänhet inte reella).

Notera ekvivalensen: Normala linjära avbildningar är alltså exakt de avbildningar som kan diagonaliseras med en bas av ortonormerade egenvektorer.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Symmetriska avbildningar[redigera | redigera wikitext]

Spektralsatsen bevisas för en reell symmetrisk avbildning F genom matematisk induktion över dimensionen p för vektorrummet \mathbb E^p som F verkar på.

  • Visa att satsen gäller för p = 1.
Låt vektorn \mathbf{f} vara talet 1. Eftersom avbildningsmatrisen har dimensionen 1x1 och är reell avbildas \mathbf{f} på en reell multipel av sig själv, så egenvärdet är reellt.
 \mathbf{f} är alltså en normerad egenvektor till F och därmed den sökta basen till \mathbb E^1.
  • Anta vidare att satsen är sann för rum av dimensionen p. Visa då att satsen även är sann för rum av dimensionen p + 1.
Symmetriska matriser är hermetiska, och hermiteska matriser har endast reella egenvärden. Välj ett (reellt) egenvärde \lambda_1 för F i rummet \mathbb{E}^{p+1} och låt vektorn \mathbf{f}_1 vara en normerad egenvektor till denna.
Bilda mängden V som innehåller alla vektorer i \mathbb{E} som är ortogonala mot \mathbf{f}_1. Dimensionen för V blir alltså p. Låt V ha ortonormala basvektorer \mathbf{f}'_2, \mathbf{f}'_3 \dots, \mathbf{f}'_{p+1}. Notera att dessa inte nödvändigtvis är egenvektorer till F.
Fyll ut med \mathbf{f}_1 till en ON-bas för \mathbb{E}^{p+1}.
Transformationsmatrisen T blir då ortonormal, så T^{-1} = T^T. Avbildningsmatrisen i den nya basen, A_f = TAT^T, blir då symmetrisk eftersom A_f^T = (TAT^T)^T = TA^TT^T = TAT^T = A_f.. Den får då formen \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \cdots & a\\ \vdots &  \vdots & \ddots & b \\ 0 & a & b & c \end{pmatrix}.
V har dimension p och är symmetrisk existerar ortonormala egenvektorer \mathbf{f}_2, \mathbf{f}_3, \dots, \mathbf{f}_{p+1} till F begränsat till rummet V enligt induktionsantagandet.
Det betyder i sin tur att \mathbf{f}_1 , \mathbf{f}_2 , \dots, \mathbf{f}_p , \mathbf{f}_{p+1} är en ortonormerad bas bestående av egenvektorer till F
  • Eftersom satsen är sann för dimensionen p=1 och om den är sann för ett rum av dimensionen p så är den även sann för rum av dimensionen p+1, är satsen sann för alla heltalsdimensioner.

Normala avbildningar[redigera | redigera wikitext]

Schurs sats kan användas för att bevisa att en normal matris kan diagonaliseras med en unitär matris.

Låt A vara en normal matris. Det finns då, enligt Schurs sats, en unitär matris U så att A = UTUH, där T är en uppåt triangulär matris med A:s egenvärden på diagonalen. Man får då att:

AA^H = UTT^HU^H ~~~ A^HA = UT^HTU^H.

A är normal och U inverterbar ger detta att TTH = THT. T är uppåt triangulär och TH är nedåt triangulär, så för att produkterna TTH och THT ska vara lika måste T vara diagonal.

Historia[redigera | redigera wikitext]

Spektralsatsen utformades under början av 1800-talet av Augustin-Louis Cauchy.

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Kvadratiska former[redigera | redigera wikitext]

En kvadratisk form kan skrivas som en symmetrisk matris och kan därför diagonaliseras med en ortonormerad bas. Den blir då mer lätthanterlig. Spektralsatsen kan i vissa fall vara formulerad som att en kvadratisk form i ett euklidiskt rum har en kanonisk ortonormerad bas. Detta gör att spektralsatsen kan användas för att bestämma olika andragradsytors huvudaxlar.

Exempelvis kan den kvadratiska formen

 k(x_1,x_2,x_3)= x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2 + 6x_2x_3 + x_3^2

skrivas på matrisform som

 k(\mathbf{x}) = 
\begin{pmatrix}
x_1 & x_2 & x_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 \\
2 & 1 & 3 \\
0 & 3 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3
\end{pmatrix}

och där egenvärdena är

 1, 1 - \sqrt{13}, 1+\sqrt{13},

så att k i den nya basen kan skrivas

k'(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + (1 - \sqrt{13})x_2^2 + (1 + \sqrt{13})x_3^2.

Referenser[redigera | redigera wikitext]