Spektralsatsen

Spektralsatsen är en samling satser inom linjär algebra. Satserna anger vilka linjära avbildningar som har en bas av ortonormerade egenvektorer och alltså kan diagonaliseras i denna bas, det vill säga huruvida matrisen A kan uttryckas som

$A = UDU^*$

där D är en diagonalmatris och U är en unitär matris.

Satsen anger dels att vissa matriser är diagonaliserbara, dels att det inte är nödvändigt att beräkna en invers, vilket är fallet vid allmänna diagonaliseringar, då matrisen skrivs

$A = TDT^{-1}$.

Spektralsatser

Spektralsatsen finns i flera utföranden. Spektralsatsen för symmetriska avbildningar är oftast den enda som lärs ut i en grundkurs i linjär algebra.

Symmetriska avbildningar

Om $V$ är ett ändligt-dimensionellt reellt euklidiskt rum gäller följande:

$F:V \rightarrow V$ är en symmetrisk linjär avbildning $\Rightarrow V$ har en ortonormerad bas av egenvektorer till $F$.

Hermitska avbildningar

Om $V$ är ett ändligt-dimensionellt komplext euklidiskt rum gäller följande:

$F:V \rightarrow V$ är en hermitsk linjär avbildning $\Rightarrow V$ har en ortonormerad bas av egenvektorer till $F$.

Normala avbildningar

Om $V$ är ett ändligt-dimensionellt komplext euklidiskt rum gäller följande:

$F:V \rightarrow V$ är en normal linjär avbildning $\Leftrightarrow V$ har en ortonormerad bas av egenvektorer till $F$.

Notera ekvivalensen: Normala linjära avbildningar är alltså exakt de avbildningar som kan diagonaliseras med en bas av ortonormerade egenvektorer.

Bevis

Symmetriska avbildningar

Spektralsatsen bevisas för en reell symmetrisk avbildning F genom matematisk induktion över dimensionen p för vektorrummet $\mathbb E$ som F verkar på.

• Visar att satsen gäller för p = 1.

Vektorn $\bar{f}_0$ tillhör rummet $\mathbb E$ och har längden (beloppet) 1 vilket ger att $F$:s avbildning av $\bar{f}_0$ är en multipel av sig själv.

Vektorn $\bar{f}_0$ är alltså en egenvektor till $F$ och därmed den sökta basen till rummet.

• Antar vidare att satsen är sann för rum av dimensionen p, vilket åtminstone stämmer då dimensionen av rummet är 1 (enligt ovan). Visar då att satsen även är sann för rum av dimensionen p + 1.

Om $\lambda_1$ är en reell rot till sekularekvationen för $F$ i rummet $\mathbb{E}$ och vektorn $\bar{f}_1$ är tillhörande egenvektor till $F$ med längden 1, dvs $F(\bar f_1) = \lambda_1 \bar f_1$.

Bildar mängden $V$ som innehåller alla vektorer i $\mathbb{E}$ som är ortogonala mot $\bar{f}_1$. Dimensionen för $V$ blir alltså $p$.

Fyller ut $\bar{f}_1$ till en ON-bas för $\mathbb{E}$.

$F$:s matris i den basen blir då symmetrisk enligt: $\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \cdots & a\\ \vdots & \vdots & \ddots & b \\ 0 & a & b & c \end{pmatrix}$, vilket följer av att $(TAT^T)^T = TAT^T$.

Då V har dimension p, så existerar ortonormala egenvektorer $\bar f_2, \bar f_3, \dots, \bar f_{p+1}$ till F begränsat till rummet V enligt induktionsantagandet.

Det betyder i sin tur att $\bar{f}_1 , \bar{f}_2 , ...\, , \bar{f}_p , \bar{f}_{p+1}$ är en ortonormerad bas bestående av egenvektorer till $F$

• Satsen är sann inledningsvis och om den är sann för rum av dimensionen $p$ så är den även sann för rum av dimensionen $p+1$. Då är satsen sann i all oändlighet enligt induktionsaxiomet.

Normala avbildningar

Schurs sats kan användas för att bevisa att en normal matris kan diagonaliseras med en unitär matris.

Låt A vara en normal matris. Det finns då, enligt Schurs sats, en unitär matris U så att A = UTU^H, där T är en uppåt triangulär matris med A:s egenvärden på diagonalen. Man får då att:

$AA^H = UTT^HU^H ~~~ A^HA = UT^HTU^H$.

Då A är normal och U inverterbar ger detta att TT^H = T^HT. T är uppåt triangulär och T^H är nedåt triangulär, så för att produkterna TT^H och T^HT ska vara lika måste T vara diagonal.

Historia

Spektralsatsen utformades under början av 1800-talet av Augustin-Louis Cauchy.

Tillämpningar

Kvadratiska former

En kvadratisk form kan skrivas som en symmetrisk matris och kan därför diagonaliseras med en ortonormerad bas. Den blir då mer lätthanterlig. Spektralsatsen kan i vissa fall vara formulerad som att en kvadratisk form i ett euklidiskt rum har en kanonisk ortonormerad bas. Detta gör att spektralsatsen kan användas för att bestämma olika andragradsytors huvudaxlar.

Exempelvis kan den kvadratiska formen

$k(x_1,x_2,x_3)= x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2 + 6x_2x_3 + x_3^2$

skrivas på matrisform som

$k(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$

och där egenvärdena är

$1, 1 - \sqrt{13}, 1+\sqrt{13}$,

så att k i den nya basen kan skrivas

$k'(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + (1 - \sqrt{13})x_2^2 + (1 + \sqrt{13})x_3^2$.

Referenser

• Janfalk, Ulf, Linjär Algebra, 2007, MAI (Linköpings Universitet)
• Thompson, Jan, Matematiklexikon, 2005, Wahlström & Widstrand
• Treil, Sergei, Linear Algebra Done Wrong, 2004, elektroniskt tillgänglig http://www.math.brown.edu/%7Etreil/papers/LADW/LADW.html
• Horn, Roger; Charles Johnson (1985). Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38632-6