Hermiteskt konjugat

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Det hermiteska konjugatet är en matematisk operation på en matris uppkallat efter franske 1800-talsmatematikern Charles Hermite.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Det hermiteska konjugatet av en matris A=(a_{ij})\in \mathbb{C}_{n \times n} definieras som \left(A^H\right)_{ij}=\bar{a_{ji}} där \bar{z} betecknar komplexkonjugatet av z. Med andra ord är det hermiteska konjugatet till  A definierat som  A :s transponat med alla element komplexkonjugerade.

Notera att A\in \mathbb{R}_{n\times n} \Rightarrow A^H=A^t, transponatet av A. Dvs, för reella matriser är det hermiteska konjugatet samma som vanlig transponering.

Andra skrivsätt[redigera | redigera wikitext]

 A^H \, skrivs även  A^* \, eller A^\dagger .

Exempel[redigera | redigera wikitext]

 
A = 
\begin{pmatrix} 
3+i & 2-i  \\ 
i & 1-i
\end{pmatrix}

Ger att:

 
A^H =
\begin{pmatrix} 
3-i & -i  \\ 
2+i & 1+i
\end{pmatrix}

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Ur definitionen får man omedelbart följande egenskaper:

(A^H)^H = A
 (A^H)^{-1} = (A^{-1})^H om A är inverterbar.
(A+B)^H = A^H+B^H
(\lambda A)^H = \lambda^*A^H, där \lambda^* är \lambda:s komplexa konjugat.
(AB)^H = B^HA^H

Om operatornormen av  A är:

\| A \| = \sup \{\|Ax\|: \|x\| = 1\}

så är

\|A^H\| = \|A\|

och

 \|A^HA\|=\|A\|^2

Se även[redigera | redigera wikitext]