Hermiteskt konjugat

Det hermiteska konjugatet är en matematisk operation på en matris uppkallat efter franske 1800-talsmatematikern Charles Hermite.

Definition

Det hermiteska konjugatet av en matris $A=(a_{ij})\in \mathbb{C}_{n \times n}$ definieras som $\left(A^H\right)_{ij}=\bar{a_{ji}}$ där $\bar{z}$ betecknar komplexkonjugatet av $z$. Med andra ord är det hermiteska konjugatet till $A$ definierat som $A$:s transponat med alla element komplexkonjugerade.

Notera att $A\in \mathbb{R}_{n\times n} \Rightarrow A^H=A^t$, transponatet av A. Dvs, för reella matriser är det hermiteska konjugatet samma som vanlig transponering.

Andra skrivsätt

$A^H \,$ skrivs även $A^* \,$ eller $A^\dagger$.

Exempel

$A = \begin{pmatrix} 3+i & 2-i \\ i & 1-i \end{pmatrix}$

Ger att:

$A^H = \begin{pmatrix} 3-i & -i \\ 2+i & 1+i \end{pmatrix}$

Egenskaper

Ur definitionen får man omedelbart följande egenskaper:

$(A^H)^H = A$

$(A^H)^{-1} = (A^{-1})^H$ om A är inverterbar.

$(A+B)^H = A^H+B^H$

$(\lambda A)^H = \lambda^*A^H$, där $\lambda^*$ är $\lambda$:s komplexa konjugat.

$(AB)^H = B^HA^H$

Om operatornormen av $A$ är:

$\| A \| = \sup \{\|Ax\|: \|x\| = 1\}$

så är

$\|A^H\| = \|A\|$

och

$\|A^HA\|=\|A\|^2$

Se även

• Normal matris
• Hermitesk matris
• Symmetrisk matris
• Transponat