Singulärt mått

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Ett singulärt mått är ett begrepp inom matematisk måtteori. Ett mått är singulärt med avseende på ett annat mått om det finns en mängd som är nollmängd med avseende på det första måttet och vars komplement är nollmängd med avseende på det andra måttet.

Formell definition[redigera | redigera wikitext]

Låt (X,\mathcal{F}) vara ett mätbart rum och låt \mu : \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]\, och \nu : \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]\, vara mått.

Måttet \mu\, är singulärt med avseende på måttet \nu\, om det finns S \in \mathcal{F} så att

\mu (S) = 0 = \nu (X\setminus S),

dvs S är en \mu\,-nollmängd och X \ S är en \nu\,-nollmängd.

Om \mu\, är singulärt med avseende på \nu\, skriver man

\mu\perp\nu.

Operatorn \perp är kommutativ:

\mu\perp\nu = \nu\perp\mu.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Lebesguemåttet är singulärt med avseende på Diracmåttet. Låt \delta_x\, vara Diracmåttet i punkten x \in \R^n. Eftersom \{x\}\, är en sluten mängd, är det en Borelmängd och därför en Lebesguemätbara mängd. Å andra sidan

\mathcal{L}_n (\{x\}) = 0 = \delta_x (\R^n \setminus\{x\}),

dvs {x} är en \mathcal{L}_n\,-nollmängd och Rn\{x} är en \delta_x\,-nollmängd. Så att

\mathcal{L}_n\perp\delta_x

för alla x \in \R^n.

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.