Superfakultet

Inom matematiken är superfakulteten en funktion relaterad till fakulteten. Den definierades av Neil Sloane och Simon Plouffe i The Encyclopedia of Integer Sequences (Academic Press, 1995) som produkten av de $n$ första värdena på fakulteten. Utskrivet är den

$\mathrm {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.$

En ekvivalent formulering är

$\mathrm {sf} (n)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(j-i)$

som är determinanten av Vandermondematrisen.

De första värdena av superfakulteten är (från $n=0$):

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000, 5056584744960000, 1834933472251084800000, 6658606584104736522240000000, 265790267296391946810949632000000000, 127313963299399416749559771247411200000000000, … (talföljd A000178 i OEIS)

Alternativ definition

Clifford Pickover definierade i sin bok Keys to Infinity (1995) beteckningen n$ för en variation av superfakulteten:

$n\$\equiv {\begin{matrix}\underbrace {n!^{{n!}^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{n!}}}}}} \\n!\end{matrix}},\,$

som kan skrivas som,

$n\$=n!^{(4)}n!\,$

där ⁽⁴⁾ betecknar hyper4-operatorn, eller genom att använda Knuths pilnotation

$n\$=(n!)\uparrow \uparrow (n!).\,$

Denna följd av superfakulteter börjar

$1\$=1\,$

$2\$=2^{2}=4\,$

$3\$=6\uparrow \uparrow 6={^{6}}6=6^{6^{6^{6^{6^{6}}}}}.$

Såsom vanligt tolkas itererade exponentationen på följande vis:

$a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}.\,$

Se även

• Hyperfakultet

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Factorial#Superfactorial, 24 mars 2014.