Variabelseparation

Fouriers metod eller variabelseparation är ett sätt att lösa partiella differentialekvationer.

Grundidén är att man antar att en funktion av flera variabler i själva verket är en produkt av funktioner i en variabel, varefter man kan bryta upp sin ursprungliga ekvation i flera mindre delar. Dessa mindre delar kommer sedan ge upphov till Fourierserier.

Exempel

En homogen vågekvation i en rumsvariabel skrivs:

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=k^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

För att lösa detta med Fouriers metod ansätts att

$u(x,t)=X(x)T(t)\,$

Sätter man in detta i den ursprungliga ekvationen fås

$X(x)T''(t)=k^2X''(x)T(t)\,$

Om man stuvar om lite kommer man så till

$\frac{X(x)}{X''(x)}=k^2\frac{T(t)}{T''(t)}\,$

Här beror vänsterledet endast på x, och högerledet endast på t, så i själva verket kan ingendera bero på någonting, och båda leden är konstanta.

För att fortsätta ansätter man en sådan konstant, ofta kallad λ, och får så differentialekvationer i en variabel att lösa. Dessa faller dock närmast under Sturm-Liouvilles sats.

Det bör poängteras att det inte är självklart att denna metod kommer röna framgång i det enskilda fallet; differentialekvationen kan vara av sådan art att det är omöjligt att använda Fouriers metod. Dessutom finns det krav på randvärdena, men dessa går oftast att kringgå på olika sätt.

Se även

• Fast Fourier Transform