Fibonomialkoefficient

Inom matematiken är Fibonomialkoefficienterna eller Fibonacci-binomialkoefficienterna tal definierade som

${\binom {n}{k}}_{F}={\frac {F_{n}F_{n-1}\cdots F_{n-k+1}}{F_{k}F_{k-1}\cdots F_{1}}}={\frac {n!_{F}}{k!_{F}(n-k)!_{F}}}$

där n och k är icke-negativa heltal, 0 ≤ k ≤ n, F_j är det j-th Fibonaccitalet och n!_F är Fibonaccifakulteten med 0!_F= 1.

Fibonomialkoefficienterna är alla heltal. Några speciella värden är:

${\binom {n}{0}}_{F}={\binom {n}{n}}_{F}=1$

${\binom {n}{1}}_{F}={\binom {n}{n-1}}_{F}=F_{n}$

${\binom {n}{2}}_{F}={\binom {n}{n-2}}_{F}={\frac {F_{n}F_{n-1}}{F_{2}F_{1}}}=F_{n}F_{n-1}$

${\binom {n}{3}}_{F}={\binom {n}{n-3}}_{F}={\frac {F_{n}F_{n-1}F_{n-2}}{F_{3}F_{2}F_{1}}}=F_{n}F_{n-1}F_{n-2}/2$

${\binom {n}{k}}_{F}={\binom {n}{n-k}}_{F}.$

Fibonomialkoefficienterna (talföljd A010048 i OEIS) är analogier av binomialkoefficienterna och kan framställas i en triangel analog till Pascals triangel. De första åtta raderna visas nedan.

$n=0$									1
$n=1$								1		1
$n=2$							1		1		1
$n=3$						1		2		2		1
$n=4$					1		3		6		3		1
$n=5$				1		5		15		15		5		1
$n=6$			1		8		40		60		40		8		1
$n=7$		1		13		104		260		260		104		13		1

Av relationen

${\binom {n}{k}}_{F}=F_{n-k+1}{\binom {n-1}{k-1}}_{F}+F_{k-1}{\binom {n-1}{k}}_{F}$

följer det att Fibonomialkoefficienterna alltid är heltal.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Fibonomial coefficient, 1 februari 2014.

• Benjamin, Arthur T.; Plott, Sean S., A combinatorial approach to Fibonomial coefficients, Dept. of Mathematics, Harvey Mudd College, Claremont, CA 91711, arkiverad från ursprungsadressen den 2013-02-15, https://web.archive.org/web/20130215012020/http://www.math.hmc.edu/~benjamin/papers/Fibonomial.pdf, läst 2 februari 2014 
• Ewa Krot, An introduction to finite fibonomial calculus, Institute of Computer Science, Bia lystok University, Poland.
• Weisstein, Eric W., "Fibonomial Coefficient", MathWorld. (engelska)